Weekly outline

  • General

    • MEM-112 Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα 

      Τμήμα Α: Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης (Γραφείο Γ-313).

      Στο τμήμα αυτό ανήκουν οι φοιτητές των οποίων τα επίθετα αρχίζουν από Α έως Μα. 

       

      Πρόγραμμα μαθημάτων και εργαστηρίων
       

      Δευτέρα 11-1

      Διαλέξεις

      Τρίτη 11-1

      Εργαστήριο

      Πέμπτη 9-11

      Εργαστήριο

      Παρασκευή 9-11 

      Διαλέξεις
      Αίθουσα

       Α 201

      Ε 214

      Ε 214

       Α 201


      Τα εργαστήρια αρχίζουν την Τρίτη 2 Οκτωβρίου.
      Quiz θα αναρτώνται σ' αυτή την ιστοσελίδα. Θα μπορείτε να απαντάτε διαδικτυακά και να ελέγχετε την ορθότητα των απαντήσεών σας. Τα Quiz δεν θα συμμετέχουν στον βαθμό.

      Συνιστώ πολύ ισχυρά  να παρακολουθείτε τις διαλέξεις να κάνετε τα Quiz  και να συμμετέχετε στα εργαστήρια. Λύνοντας ασκήσεις κατά τη διάρκεια των εργαστηρίων και μόνοι σας σπίτι, αφ' ενός καταννοείτε τη θεωρία και, αφ' ετέρου εξασκείσθε, με τον καλλίτερο τρόπο, για τις εξετάσεις του μαθήματος.                                    

               Περιεχόμενο του μαθήματος

      • Γραμμικά συστήματα και πίνακες. Πράξεις πινάκων, αντίστροφοι και ανάστροφοι πίνακες.
      • Αναγωγή πίνακα σε κλιμακωτή μορφή και επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο Gauss. Τάξη πίνακα και η σημασία της στην επίλυση γραμμικών συστημάτων.
      • Διανυσματικοί υπόχωροι του Rn. 
      • Γραμμική εξάρτηση/ανεξαρτησία. Βάση και διάσταση διανυσματικού υποχώρου του Rn.
      • Οι τρεις βασικοί διανυσματικοί χώροι ενός πίνακα: Μηδενόχωρος, χώρος γραμμών και χώρος στηλών.
      • Γραμμικές απεικονίσεις Rn --> Rm. Πίνακας γραμμικής απεικόνισης. Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης.
      • Άλγεβρα των γραμμικών απεικονίσεων.
      • Ορίζουσες. Ιδιότητες των οριζουσών. Εφαρμογή των οριζουσών στην επίλυση των γραμμικών συστημάτων.
      • Αφηρημένοι διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Παραδείγματα.
      • Γραμμική εξάρτηση/ανεξαρτησία, βάση και διάσταση σε αφηρημένους διανυσματικούς χώρους.
      • Γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ αφηρημένων διανυσματικών χώρων. 

    • Συνιστώμενη βιβλιογραφία

    • Σημειώσεις Χρήστου Κουρουνιώτη URL

      Σε αυτόν τον σύνδεσμο (link) επιλέξτε: Ελληνικά --> Σημειώσεις Μαθημάτων --> ΜΕΜ 102 από το κεφάλαιο 4 και εξής.

    • Χρ. Κουρουνιώτη - Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Ι URL

      Σε αυτόν τον σύνδεσμο (link) επιλέξτε: Ελληνικά --> Σημειώσεις Μαθημάτων --> ΜΕΜ 106 Γραμμική Άλγεβρα Ι

    • Βαθμολογία. 

      (1) Υποχρεωτική πρόοδος κάποια μέρα μεταξύ 5 και 9 Νοεμβρίου.    
      (2) Εξέταση της περιόδου Ιανουαρίου 2019.
      Βαθμός της εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου = 20%(Βαθμός προόδου) + 80%(Βαθμός της εξέτασης Ιανουαρίου).

      Στην εξέταση του Σεπτεμβρίου δεν θα συμμετέχει ο βαθμός της προόδου.

    • Συζητήσεις για το μάθημα Forum

      Εδώ μπορείτε να αναρτάτε ερωτήσεις ή σχόλια για το μάθημα, είτε σε σχέση με ασκήσεις είτε διαδικαστικές. Οι απορίες σας καλλίτερα να αναρτώνται εδώ παρά να αποστέλλονται σε προσωπικά email, καθώς την ίδια ερώτηση μπορεί να έχουν και άλλοι φοιτητές. Οι απαντήσεις θα προέρχονται από εμένα, από βοηθό, ή από συμφοιτητές σας που έχουν ήδη ασχοληθεί με την ίδια ή παρόμοια ερώτηση και θέλουν να μοιραστούν  την απάντηση.

  • 1η διδακτική εβδομάδα: 24-28 Σεπτεμβρίου

    • Γραμμικά συστήματα. Μια πρώτη γνωριμία με τη μεθοδική επίλυσή τους και τη μέθοδο Gauss μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων.
    • Πίνακες. Ορισμός, διάσταση πίνακα, ισότητα πινάκων.
    • Πρόσθεση πινάκων και ιδιότητες. Μηδενικός πίνακας, αντίθετος πίνακας ενός δεδομένου πίνακα. Αριθμητικά παραδείγματα.
    • Πολλαπλασιασμός αριθμού επί πίνακα και ιδιότητες. Αριθμητικά παραδείγματα.
    • Πολλαπλασιασμός πινάκων. Ορισμός και αριθμητικά παραδείγματα.
    • Ειδικές περιπτώσεις σχετιζόμενες με τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Τετραγωνικοί πίνακες, ταυτοτικός πίνακας. Πολλαπλασιασμός γραμμής επί στήλη, πολλαπλασιασμός στήλης επί γραμμή. Αριθμητικά παραδείγματα.

    • Για την ύλη που διδάχθηκε αυτή την εβδομάδα συνιστάται να μελετήσετε ένα από τα παρακάτω: 

      • Ενότητα 2.1 του βιβλίου των Χαραλάμπους, Φωτιάδη μέχρι και την Πρόταση 2.1.9. Αγνοήστε όλα τα παραδείγματα στα οποία οι αριθμοί είναι μιγαδικοί. Αγνοήστε, επίσης, τα παραδείγματα 5 και 6 της υπο-ενότητας 2.1.1.
      • Ενότητα 1.1 του βιβλίου των Θεοχάρη-Αποστολίδη, Βαβατσούλα, Χαραλάμπους μέχρι και την Πρόταση 1.1.3
    • Ασκήσεις - Φυλλάδιο 1 File

      Για το εργαστήριο της Τρίτης 2/10.

      3/10/2018. Διορθώθηκαν τυπογραφικά λάθη: Ένα στην άσκηση 6 και ένα στην άσκηση 7.

    • Υποδείξεις/Απαντήσεις File

      Δείτε απαντήσεις ή υποδείξεις σε  κάποιες από τις ασκήσεις του φυλλαδίου 1.

    • Quiz 1

      Ένα απλό quiz πάνω στην ύλη της 1ης εβδομάδας. Δεν έχει βαθμολογικό ρόλο, ούτε υπάρχει περιορισμός στις απόπειρες που θα κάνετε μέχρι να  απαντήσετε όλες τις ερωτήσεις σωστά.

  • 2η διδακτική εβδομάδα: 1-5 Οκτωβρίου

    1. Μοναδιαίος n x n πίνακας In.  Αντιστρέψιμοι τετραγωνικοί πίνακες. Ο αντίστροφος ενός αντιστρέψιμου τετραγωνικού πίνακα A συμβολίζεται A-1. Ιδιότητα: AA-1 = In = A-1A.
    2. Βασικές ιδιότητες:  Αν A,B είναι n x n αντιστρέψιμοι πίνακες και λ μη μηδενικός αριθμός, τότε:
      (α)   (A-1)-1 = Α
      (β)   (ΑΒ)-1 = Β-1Α-1
      (γ)   (λA)-1 = λ-1Α-1
    3. Ανάστροφος ενός πίνακα A. Συμβολίζεται AT. 
      Χαρακτηριστική ιδιότητα: (AT)ij = (A)ji
      Ισοδύναμα: (i-γραμμή AT) = (i-στήλη A)T
      Ισοδύναμα:  (i-στήλη AT) = (i-γραμμή A)T
    4. Βασικές ιδιότητες:
      (α)  (AT)T = A
      (β) Αν A,B είναι πίνακες με ίδιες διαστάσεις, τότε (A+B)T = AT + ΒΤ     
      (γ) Αν A,B είναι τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, τότε (ΑΒ)T = ΒTΑT   
      (δ) Αν A είναι πίνακας και λ αριθμός, τότε (λA)T=λ(ΑΤ)
      (ε) Ένας τετραγωνικός πίνακας A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο AT είναι αντιστρέψιμος. Στην περίπτωση που ο A είναι αντιστρέψιμος, ισχύει (A-1)T = (AT)-1
    5. Για κάθε πίνακα A ορίζονται οι έννοιες κλιμακωτός του A, oδηγοί του A και τάξη του A. Η τάξη του A συμβολίζεται r(A) και ορίζεται ως το πλήθος των οδηγών του A. Ενώ, για τον ίδιο πίνακα A, ούτε ο κλιμακωτός, ούτε οι οδηγοί είναι μονοσήμαντα ορισμένοι, η τάξη είναι μονοσήμαντα ορισμένη. Αν η διάσταση του A είναι m x n, ισχύει ότι η τάξη r(A) είναι μικρότερη ή ίση από το min{m,n}.
    6. Μεθοδική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. Δείξαμε ότι ένα γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους γράφεται σαν εξίσωση πινάκων Ax = b, όπου A είναι πίνακας διάστασης m x n, με στοιχεία τους συντελεστές των αγνώστων, x είναι η στήλη των αγνώστων, διάστασης n x 1 και b είναι η στήλη των σταθερών στα δεξιά μέλη των εξισώσεων, διάστασης m x 1. 
      Στην περίπτωση που όλα τα δεξιά μέλη των εξισώσεων είναι 0, η στήλη b είναι μηδενική (με m μηδενικά) και συμβολίζεται 0. Το σύστημα Ax = 0 λέγεται ομογενές, ενώ το Ax = b, όταν b δεν είναι μηδενική στήλη, λέγεται μη ομογενές. 
      Αποδείξαμε τις εξής προτάσεις (Στα παρακάτω τα γράμματα Λ0, Λ1, Λ2 συμβολίζουν στήλες m x 1):
      (α)  Αν Λ1, Λ2 είναι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax = 0, και c1, c2 είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, τότε c1Λ1+c2Λ2 είναι, επίσης, λύση του Ax = 0.
      (β) Αν Λ0 είναι λύση του ομογενούς συστήματος Ax = 0 και Λ1 είναι λύση του μη ομογενούς συστήματος Ax = b τότε Λ0 + Λ1 είναι λύση του μη ομογενούς συστήματος Ax = b. 
      (γ) Έστω Σ0 το σύνολο όλων των λύσεων του ομογενούς συστήματος Ax = 0 και έστω Λ1 μία οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση του μη ομογενούς συστήματος Ax = b. Τότε κάθε λύση του Ax = b μπορεί να γραφτεί με τη μορφή Λ1 + Λ0, όπου Λ0 ανήκει στο Σ0.  
      Συμπέρασμα: Για να βρούμε όλες τις λύσεις του μη ομογενούς συστήματος Ax = b, αρκεί να βρούμε μία μόνο λύση-του Λ1 και το σύνολο Σ0 όλων των λύσεων του  ομογενούς συστήματος Ax = 0. Τότε το σύνολο των λύσεων του Ax = b ισούται με { Λ1+ Λ0 : Λ0 διατρέχει το σύνολο Σ0}.

    • Για περαιτέρω μελέτη και εμβάθυνσή σας στις πράξεις μεταξύ πινάκων και τους αντίστροφους και ανάστροφους πίνακες, δείτε στο Κεφάλαιο 3 του βιβλίου των Γεωργίου-Κούγια-Μεγαρίτη (βλ. αρχή της ιστοσελίδας "Συνιστώμενη βιβλιογραφία"), από τον Ορισμό 3.3.1 μέχρι και την Πρόταση 3.5.4.

    • Ασκήσεις - Φυλλάδιο 2 File

      Για το εργαστήριο της Πέμπτης 4 Οκτωβρίου

    • Υποδείξεις/Απαντήσεις File

      Είναι για το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων.

    • Quiz 2

      Πρόκειται για quiz με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Δεν έχει βαθμολογικό ρόλο, ούτε υπάρχει περιορισμός στις απόπειρες που θα κάνετε μέχρι να  απαντήσετε όλες τις ερωτήσεις σωστά.

    • Quiz 3: Πράξεις με στοιχειώδεις πίνακες

      Μπορείτε να κάνετε οσεσδήποτε απόπειρες μέχρι να βρείτε το σωστό αποτέλεσμα. 

  • 3η διδακτική εβδομάδα: 8-12 Οκτωβρίου

    • Πολλά αριθμητικά παραδείγματα επίλυσης γραμμικών συστημάτων, βάσει της θεωρίας που αναπτύξαμε την προηγούμενη εβδομάδα.
    • Η τάξη r(A)=r ενός πίνακα A καθορίζει το πλήθος των βασικών λύσεων του ομογενούς συστήματος Ax = 0.  Συγκεκριμένα, αν ο πίνακας έχει διάσταση m x n (άρα το σύστημα Ax = 0 έχει m εξισώσεις και n αγνώστους) το σύστημα έχει n-r βασικές λύσεις Λ1,...,Λn-r. Αν n=r τότε δεν έχομε βασικές λύσεις και η μοναδική λύση του Ax = 0 είναι η  x = 0.
    • Όταν n > r είπαμε πώς βρίσκομε τις βασικές λύσεις, βάζοντας συγκεκριμένες τιμές στις ελεύθερες μεταβλητές.
    • Έχοντας υπολογίσει τις βασικές λύσεις, μάθαμε ότι η γενική λύση του συστήματος Ax = 0 είναι Λ0 = c1Λ1 + ... + cn-rΛn-r, με τα c1,...,cn-r να παίρνουν οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές. 
    • Αν έχομε να λύσομε ένα μη ομογενές σύστημα Ax = b, εξετάζομε αν το σύστημα αυτό (δηλαδή το μη ομογενές) έχει λύση και αν έχει  (υπογραμμίζω το "αν"), τότε επιλέγομε μια οποιαδήποτε λύση Λμο του μη ομογενούς και, βάσει της θεωρίας της προηγούμενης εβδομάδας:
               Γενική λύση του μη ομογενούς = Λμο+(γενική λύση ομογενούς) = Λμο + c1Λ1 + ... + cn-rΛn-r, με τα c1,...,cn-r να παίρνουν οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές. 
    • Η παρακάτω πρόταση μας λέει πότε ένα μη ομογενές σύστημα Ax = b έχει λύση 
              Το μη ομογενές σύστημα Ax = b έχει λύση αν και μόνο αν r(A|b) = r(A), όπου (A|b) είναι ο πίνακας που προκύπτει αν στον A επισυνάψομε ως επιπλέον στήλη τη b. 

    Για τους τετραγωνικούς πίνακες δείξαμε τα εξής, βασισμένοι και στις ασκήσεις 4 και 5 του φυλλαδίου ασκήσεων 4:

    • Αν ο A είναι n x n πίνακας με r(A) = n και U είναι κλιμακωτός του A, τότε ο U είναι άνω τριγωνικός. Αν r = n, τα διαγώνια στοιχεία του U είναι όλα μη μηδενικά. Αν r < n, τότε τα n-r τελευταία διαγώνια στοιχεία του U είναι, οπωσδήποτε, μηδενικά.
    • Αποδείξαμε το εξής βασικό
      Θεώρημα. Έστω n x n πίνακας A. Τότε οι εξής προτάσεις είναι ισοδύναμες (δηλαδή, αν μία οποιαδήποτε από αυτές ισχύει, τότε ισχύουν και όλες οι υπόλοιπες):
      (α)  A είναι αντιστρέψιμος. (β) Το σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη μηδενική.  (γ)  r(A) = n  (δ)  Το ομογενές σύστημα Ax = b έχει λύση, για οποιαδήποτε (n x 1) στήλη b. 

  • 4η διδακτική εβδομάδα: 15-20 Οκτωβρίου

    • Τέχνασμα για να λύνομε, ταυτόχρονα, ένα αριθμό συστημάτων Ax = b1, Ax=b2, Ax=b3,... όταν ο πίνακας συντελεστών A είναι σε όλα τα συστήματα ο ίδιος και διαφέρουν τα δεξιά μέλη b1, b2, b3,...
    • Ορίσαμε τον αναγμένο κλιμακωτό ενός πίνακα. Με λίγα λόγια, ενώ στον (απλό) κλιμακωτό όλα τα στοιχεία κάτω από κάθε οδηγό είναι 0,  στον αναγμένο κλιμακωτό, όλα τα στοιχεία πάνω και κάτω από κάθε οδηγό είναι 0.  
    • Μέθοδος Jordan για ν' αποφασίσει κάποιος αν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος και, αν είναι, να τον υπολογίσει. Η μέθοδος βασίζεται στο παραπάνω τέχνασμα.

    • Εισαγωγή στη θεωρία των διανυσματικών χώρων του Rn        
    • Ορισμός, παραδείγματα και αντιπαραδείγματα (δηλαδή, παραδείγματα υποσυνόλων του Rn, τα οποία έχουν μεν μαθηματικό ενδιαφέρον, αλλά δεν είναι διανυσματικοί υπόχωροι).
    • Υπόχωρος που παράγεται, ή παραγόμενος υπόχωρος, από ένα σύνολο διανυσμάτων u1, u2,...,uk. Είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των u1, u2,...,uk και συμβολίζεται < u1, u2,...,uk >. 
    • Δοθέντος ενός πίνακα A διαστάσεως m x n, ορίσαμε τους τρείς βασικούς υποχώρους του A:
      Μηδενόχωρος του Α. Συμβολίζεται N(A) (καλλιγραφικό N) και είναι το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος Ax = 0. Ο μηδενόχωρος του A είναι διανυσματικός υπόχωρος του Rn.
      Χώρος στηλών του A. Αν c1, c2,...,cn είναι οι στήλες του A, ο χώρος στηλών του A συμβολίζεται R(A) (καλλιγραφικό R) και ορίζεται ως ο διανυσματικός υπόχωρος < c1, c2,..., cn> του Rm. 
      Χώρος γραμμών του A. Αν r1, r2,...,rm είναι οι γραμμές του A, ο χώρος γραμμών του A συμβολίζεται R(AT) (καλλιγραφικό R) και ορίζεται ως ο διανυσματικός υπόχωρος < r1, r2,..., rm> του Rn.

      Αποδείξαμε το εξής Θεώρημα:
      Αν A είναι ένας οποιοσδήποτε πίνακας και U είναι κλιμακωτός του A, τότε ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρο γραμμών του U. Με σύμβολα: R(AT) = R(UT).

  • 5η διδακτική εβδομάδα: 22-27 Οκτωβρίου

    • Γραμμική εξάρτηση / γραμμική ανεξαρτησία. Δείτε π.χ. Σημειώσεις Χρ. Κουρουνιώτη, σελίδες 123-127. Πολύ σημαντική η Πρόταση 5.3. Μια κάπως πληρέστερη διατύπωση της πρότασης αυτής, την οποία συζητήσαμε εκτενώς με παραδείγματα, είναι η εξής:
      Πρόταση 1. Σε κάθε κλιμακωτό πίνακα U ισχύουν τα εξής: (α) Οι μη μηδενικές γραμμές του U είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. (β) Οι στήλες του U, που αντιστοιχούν σε οδηγούς, είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Κάθε μία από τις υπόλοιπες στήλες (δηλαδή, κάθε στήλη που δεν αντιστοιχεί σε οδηγό) μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών που αντιστοιχούν σε οδηγούς. 
      Επίσης, αποδείξαμε τις εξής απλές, αλλά χρήσιμες προτάσεις:
      Πρόταση 2. Τα διανύσματα u1, u2,...,uk είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν και μόνο αν κάποιο από αυτά εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων διανυσμάτων.
    • Βάση και διάσταση διανυσματικού υποχώρου. Δείτε π.χ. Σημειώσεις Χρ. Κουρουνιώτη, σελίδες 129-132. Πολύ σημαντική η Πρόταση 5.7. 
      Σημαντική, επίσης, η εξής:
      Πρόταση 3. Αν τα διανύσματα u1, u2,...,uk είναι βάση του V, τότε κάθε διάνυσμα w του V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των u1, u2,...,uk.
    • Αποδείξαμε την εξής πρόταση, η οποία θα χρησιμοποιηθεί σε επόμενα μαθήματα.
      Πρόταση 4. Αν A είναι ένας m x n πίνακας και U είναι ένας κλιμακωτός του πίνακας, τότε υπάρχει αντιστρέψιμος m x m πίνακας E, τέτοιος ώστε U = EA.

  • 6η διδακτική εβδομάδα: 29 Οκτωβρίου - 2 Νοεμβρίου

    Αποδείχθηκαν τα εξής πολύ σημαντικά θεωρήματα.

    1. Αν U είναι κλιμακωτός ενός πίνακα A και οι οδηγοί βρίσκονται στις στήλες με δείκτη j1,...,jr (άρα r = r(U)= r(A)), τότε οι αντίστοιχες στήλες του A αποτελούν βάση του χώρου στηλών του A.
    2. Αν A είναι m x n πίνακας, τότε ο χώρος γραμμών του A (διανυσματικός υπόχωρος του Rn) και ο χώρος στηλών του A (διανυσματικός υπόχωρος του Rm) έχουν και οι δύο διάσταση ίση με r(A). 
    3. Αν V είναι διανυσματικός υπόχωρος του Rm με dim(V) = n, τότε οποιαδήποτε k το πλήθος διανύσματα του V, με k > n, είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Άρα, ένα σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων του V έχει πλήθος μικρότερο ή ίσο του n.
    4. Έστω V διανυσματικός υπόχωρος του Rm, διαφορετικός από τον μηδενικό υπόχωρο {0}, με dim(V) = n και u1,...,un διανύσματα του V (προσέξτε ότι το πλήθος τους είναι ίσο με dim(V)). Τότε ισχύουν τα εξής:
      (α) Αν τα u1,...,un είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε αποτελούν βάση του V (άρα δεν χρειάζεται να ελέγξομε αν παράγουν τον V).
      (β) Αν τα u1,...,un παράγουν τον V, τότε αποτελούν βάση του V (άρα δεν χρειάζεται να ελέγξομε τη γραμμική ανεξαρτησία τους).
    5. Αν ο V είναι διανυσματικός υπόχωρος του Rm και παράγεται από τα u1,...,uk, τότε το k είναι μεγαλύτερο ή ίσο του dim(V). Μ' άλλα λόγια, λιγότερα από dim(V) διανύσματα δεν είναι δυνατόν να παράγουν τον V.
    6. Αν ο V είναι διανυσματικός υπόχωρος του Rm με dim(V) = n και u1,...,uk είναι διανύσματα του V με k < n, τότε μπορούμε να συμπληρώσομε τα u1,...,uk με n-k διανύσματα uk+1,...,un του V, έτσι ώστε το σύνολο {u1,...,uk,uk+1,...un} να είναι βάση του V. (Η συμπλήρωση μπορεί να γίνει με πολλούς -άπειρους- τρόπους).

    Συζητήσαμε τα βασικά για να μπορέσετε ν' απαντήσετε στο πολύ διδακτικό Quiz 5 (δείτε το παρακάτω).

  • 7η διδακτική εβδομάδα: 5-9 Νοεμβρίου

    • Αποδείχθηκε το Θεώρημα. Αν V και W είναι υπόχωροι κάποιου χώρου Rm τότε dim(V+W) = dim(V) + dim(W) - dim(V τομή W).
    • Γραμμικές απεικονίσεις. Ορισμός. Πίνακας Mf διάστασης m x n που ορίζεται μέσω μιας γραμμικής απεικόνισης f: Rn --> Rm. Γραμμική απεικόνιση LA: Rn --> Rm που ορίζεται μέσω ενός πίνακα A διάστασης m x n.
    • Εικόνα και αντίστροφη εικόνα υποχώρου μέσω γραμμικής απεικόνισης. Πυρήνας γραμμικής απεικόνισης. 
      Θεώρημα 1. Έστω f: Rn --> Rm γραμμική απεικόνιση, V υπόχωρος του Rn και W υπόχωρος του Rm. Τότε ισχύουν τα εξής:
      (α) f(V) είναι υπόχωρος του Rm. Ειδική περίπτωση: f(Rm) (συμβολικά Im(f)) είναι υπόχωρος του Rm.
      (β) f-1(W) είναι υπόχωρος του Rn. Ειδική περίπτωση: f-1(0) (συμβολικά ker(f), πυρήνας της f) είναι υπόχωρος του Rn.
    • Μονομορφισμός (1-1 γραμμική απεικόνιση), επιμορφισμός (γραμμική απεικόνιση "επί"), ισομορφισμός (αμφιμονοσήμαντη γραμμική απεικόνιση).
      Πρόταση 2. Μια γραμμική απεικόνιση f είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ker(f) = {0}.
      Θεώρημα 3. Έστω A πίνακας m x n και LA : Rn --> Rm η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται μέσω του A. Τότε ker(LA) = N(A) (=μηδενόχωρος του A) και Im(LA) = R(A) (χώρος στηλών του A, υπόχωρος του Rm). Επιπλέον, ισχύουν τα εξής:
      (α) LA είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν N(A)={0}. Ισοδύναμα, LA είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν r(A) = n.
      (β) LA είναι επιμορφισμός αν και μόνο αν R(A) = Rm. Ισοδύναμα, LA είναι επιμορφισμός αν και μόνο αν r(A) = m.
      (γ) LA είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν m = n = r(A).

    • Εξέταση προόδου: Τρίτη 6/11, 7-8:30' μ.μ.

    • Οι σωστές απαντήσεις File

      Οι σωστές απαντήσεις στην εξέταση προόδου. Αναζητήστε τον σειραϊκό αριθμό του φύλλου εξέτασης και δείτε τις σωστές απαντήσεις. Τις επόμενες ημέρες θα αναρτηθεί αρχείο, που θα περιέχει τον ΑΜ σας, τις απαντήσεις σας, τις σωστές απαντήσεις και τη βαθμολογία που συγκεντρώσατε. Σύμφωνα με τις οδηγίες, που ήταν γραμμένες στα φύλλα εξέτασης, μπορείτε και μόνοι σας να υπολογίσετε τη βαθμολογία σας: Αν από τις 7 ερωτήσεις, Σ είναι ο αριθμός των ερωτήσεων στις οποίες απαντήσατε σωστά και Λ ο αριθμός εκείνων στις οποίες απαντήσατε λάθος (Σ+Λ μικρότερο ή ίσο του 7) τότε ο βαθμός που συγκεντρώσατε είναι 

      (10Σ - 2Λ)/7 αν Σ < 3 και (10Σ-2Λ+2))/7 αν Σ > ή ίσο με 3.

    • 11ο φυλλάδιο ασκήσεων File

      Για το εργαστήριο της Τρίτης 6 Νοεμβρίου.

    • 12ο φυλλάδιο ασκήσεων File

      Για το εργαστήριο της Πέμπτης 8 Νοεμβρίου.

      Οι ασκήσεις αυτές είναι καθαρά υπολογιστικές και δεν έχει κανένα απολύτως νόημα να αναρτηθούν οι λύσεις τους. Αντιθέτως, είναι εντελώς απαραίτητο να μπορείτε να τις κάνετε όλες μόνοι σας.

  • 8η διδακτική εβδομάδα: 12-16 Νοεμβρίου

    Δεξιός και αριστερός αντίστροφος ενός όχι κατ' ανάγκη τετραγωνικού πίνακα A. Αν ο A έχει διάσταση m x n, ο πίνακας B διάστασης n x m λέμε ότι είναι δεξιός αντίστροφος του A αν AB = Im, ενώ λέμε πως είναι αριστερός αντίστροφος του A αν BA = In. 

    Θεώρημα 1. Έστω m x n πίνακας A.
    (α) Ο A έχει δεξιό αντίστροφο αν και μόνο αν ο χώρος στηλών R(A) = Rm. Ισοδύναμα, ο A έχει δεξιό αντίστροφο αν και μόνο αν r(A) = m.

    (β) Ο A έχει αριστερό αντίστροφο αν και μόνο αν ο χώρος γραμμών R(AT) = Rn. Ισοδύναμα, ο A έχει αριστερό αντίστροφο αν και μόνο αν r(A) = n. 

    Στην απόδειξη του θεωρήματος έγινε χρήση του παρακάτω λήμματος, το οποίο εφαρμόζεται και σε πολλές άλλες περιπτώσεις.
    Λήμμα 2. Αν A, B είναι πίνακες με διαστάσεις τέτοιες ώστε να ορίζεται το γινόμενο AB, τότε (α) R(AB) περιέχεται στον R(A), και (β) R((AB)T) περιέχεται στον R(BT).
    Με λόγια: Ο χώρος στηλών ενός γινομένου δύο πινάκων περιέχεται στον χώρο στηλών του αριστερού πίνακα και ο χώρος γραμμών του γινομένου δύο πινάκων περιέχεται στον χώρο γραμμών του δεξιού πίνακα. 

    Θεώρημα 3.  Ένας n x n πίνακας A έχει δεξιό και αριστερό αντίστροφο αν και μόνο αν r(A) = n. Στην περίπτωση που συμβαίνει αυτό, ο αριστερός αντίστροφος ισούται με τον δεξιό αντίστροφο και, συνεπώς, ο A είναι αντιστρέψιμος, άρα ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν r(A) = n.

    Πόρισμα 4. Έστω n x n πίνακας A. Αν για τον n x n πίνακα B ισχύει AB = In, τότε και BA = In, άρα B = A-1. Ανάλογα, αν BA = In τότε και AB = In, άρα B = A-1.

    Συμπέρασμα: Για να ελέγξομε αν B = A-1, αρκεί να ελέγξομε αν ισχύει μόνο μία από τις σχέσεις AB = In ή BA = In.     

  • 9η διδακτική εβδομάδα: 19-23 Νοεμβρίου

    Ορίζουσες. Χαρακτηριστικές ιδιότητες και όλες οι βασικές ιδιότητες που προκύπτουν με σχεδόν άμεσο τρόπο από τις χαρακτηριστικές. Δείτε π.χ. Κεφάλαιο 8, στις Σημειώσεις Χρήστου Κουρουνιώτη μέχρι και τα Θεωρήματα 8.2 και 8.3 (οι αποδείξεις των δύο αυτών θεωρημάτων δεν έγιναν).

    Οι έννοιες ιδιάζοντος και μη ιδιάζοντος τετραγωνικού πίνακα. Μη ιδιάζων πίνακας σημαίνει αντιστρέψιμος πίνακας.

    Θεώρημα 1    . Ένας πίνακας είναι ιδιάζων αν και μόνο αν έχει μηδενική ορίζουσα.  

    Άρα, βάσει και του θεωρήματος που έχει αναρτηθεί στην 3η διδακτική εβδομάδα έχομε το εξής:

    Θεώρημα 2    . Το να είναι ένας n x n πίνακας A είναι μη ιδιάζων ισοδυναμεί με όλα τα παρακάτω:
    (α)     det(A) είναι διάφορη του 0.
    (β) r(A) = n.
    (γ) A είναι αντιστρέψιμος.
    (δ) Κάθε μη ομογενές σύστημα με πίνακα συντελετών A έχει λύση.
    (ε) Το μη ομογενές σύστημα με πίνακα συντελεστών A έχει μόνο τη μηδενική λύση. 

    Ελάσσων πίνακας, αλγεβρικό συμπλήρωμα (ή συμπαράγων). Δείτε π.χ. σελίδες 193-194 στις Σημειώσεις Χρήστου Κουρουνιώτη και την εκεί Πρόταση 8.7, την οποία και αποδείξαμε.
    Προσαρτημένος (adjoint) ενός πίνακα A, συμβολικά, (adj A). Από τις Σημειώσεις Χρήστου Κουρουνιώτη διδάχθηκε όλο το κομμάτι με τίτλο "Υπολογισμός του αντιστρόφου", σελ. 198 μέχρι και το Θεώρημα 8.10, το οποίο δίνει τον τύπο για τον αντίστροφο ενός (αντιστρέψιμου) πίνακα:

    A-1 = |A|-1(adj A). 

    (Προσοχή! Ενώ τα A-1 και (adj A) είναι πίνακες, το |A|-1 είναι ο αριθμός 1/det(A) και έχει νόημα διότι, βάσει του Θεωρήματος 2, η ορίζουσα του A είναι μη μηδενική, αφού ο A είναι αντιστρέψιμος.) 

  • 10η διδακτική εβδομάδα: 26-30 Νοεμβρίου

    • Έστω n x n πίνακας A. Αποδείχθηκαν τα εξής:
      1. Ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο πίνακας adj A είναι αντιστρέψιμος
      2. Πάντα (δηλαδή, είναι-δεν-είναι ο A αντιστρέψιμος) ισχύει |adj A| = |A|n-1.
      3. Αν n>1 και ο A είναι αντιστρέψιμος, τότε adj(adj A) = |A|n-2A.
    • Αποδείχθηκε ο κανόνας του Cramer για την επίλυση n x n μη ομογενών συστημάτων Ax = b, όταν ο A είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Δείτε το Θεώρημα 8.11 στις Σημειώσεις Χρήστου Κουρουνιώτη.
    • Αφηρημένοι (abstract) διανυσματικοί χώροι. Στο εξής θα παραπέμπομε, κυρίως, στον Χρ. Κουρουνιώτη - Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Ι.
      Ορισμοί - εισαγωγικά. Σελίδες 1-6. Δεν επιμείναμε στην ενότητα "Αλγεβρικά σώματα". Με τον όρο "σώμα K" ας φαντάζεστε ένα από τα Q, R, ή C.
      Δείτε τα παραδείγματα 1.4-1.7, σελ. 4-5.
      "Πρώτα αποτελέσματα από τα αξιώματα", σελ. 5-6.
      "Γενικά παραδείγματα διανυσματικών χώρων πάνω από το σώμα K". Δείτε τα παραδείγματα 1.8, 1.9, 1.10.
      Έγινε μια σύντομη, όχι αυστηρή θεμελίωση του διανυσματικού χώρου K[X] πάνω από το K των πολυωνύμων μιας μεταβλητής X με συντελεστές από το K.
      Διανυσματικοί (ή γραμμικοί) υπόχωροι.
      Κριτήριο του υποχώρου. Έστω V διανυσματικός χώρος πάνω από το K και W μη κενό υποσύνολο του V. Το W είναι διανυσματικός υπόχωρος του V αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες: (α) Για κάθε ζευγάρι w1,w2 στοιχείων του W ισχύει ότι w1+w2 ανήκει στο W.  (β) Για κάθε στοιχείο w του W και κάθε αριθμό λ του K ισχύει ότι και το λw ανήκει στο W.

       

  • 11η διδακτική εβδομάδα: 3-7 Δεκεμβρίου

    Υπόχωρος διανυσματικού χώρου παραγόμενος από ένα σύνολο διανυσμάτων, γραμμική εξάρτηση/ανεξαρτησία, βάση. Δείτε σελίδες 12 και 21-27 στο Χρ. Κουρουνιώτη - Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Ι.

    Αποδείχθηκαν τα εξής θεωρήματα:

    1. Έστω V διανυσματικός χώρος και S, T πεπερασμένα υποσύνολα του V, με τις εξής ιδιότητες: Το T είναι γραμμικώς ανεξάρτητο και < S > =V (το S παράγει τον V) . Τότε |T| είναι μικρότερο ή ίσο του |S|.
    2. Σε κάθε διανυσματικό χώρο, δύο οποιεσδήποτε βάσεις έχουν τον ίδιο πληθάριθμο. Ο κοινός αυτός πληθάριθμος ορίζεται ως διάσταση του V και συμβολίζεται dimV.
    3.  Έστω V διανυσματικός χώρος πάνω από το σώμα K και S πεπερασμένο υποσύνολο του V, που παράγει τον V ( < S > = V). Έστω F γραμμικώς ανεξάρτητο υποσύνολο του V, που περιέχεται στο S. Τότε, ανάμεσα στο F και το S υπάρχει βάση Β του V. Δηλαδή, η Β περιέχει το F και περιέχεται στο S.
      Πόρισμα. Κάθε πεπερασμένα παραγόμενος διανυσματικός χώρος (δηλαδή διανυσματικός χώρος V για τον οποίον υπάρχει πεπερασμένο υποσύνολο S τέτοιο ώστε V = < S > ) έχει βάση.
      Σημείωση. Το πόρισμα αυτό αληθεύει για κάθε διανυσματικό χώρο, αλλά εμείς δώσαμε την απόδειξη μόνο για τους πεπερασμένα παραγόμενους. Η γενικότερη απόδειξη είναι έξω από τα πλαίσια ενός εισαγωγικού μαθήματος Γραμμικής Άλγεβρας.
    4. Έστω διανυσματικός χώρος V με dimV = n (πεπερασμένη διάσταση). Ισχύουν τα εξής:
      (α) Κάθε υποσύνολο του V με περισσότερα από n στοιχεία είναι γραμμικώς εξαρτημένο.
      (β) Κάθε υποσύνολο του V με λιγότερα από n στοιχεία δεν παράγει τον V.
    5. Έστω διανυσματικός χώρος V με dimV = n (πεπερασμένη διάσταση) και S υποσύνολο του V με |S|=n.
      (α) Αν το S είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, τότε το S είναι βάση του V (δηλαδή, δεν χρειάζεται να εξετάσομε αν < S > = V).
      (β) Αν < S > = V (το S παράγει τον V), τότε το S είναι βάση του V (δηλαδή, δεν χρειάζεται να εξετάσομε αν το S είναι γραμμικώς ανεξάρτητο). 

  • 12η διδακτική εβδομάδα: 10-14 Δεκεμβρίου

    • Συνέχεια των προτάσεων της προηγούμενης εβδομάδας:
    1. Αν B = {u1,...,un} είναι βάση του διανυσματικού χώρου V και τα w1,...,wk είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (από την πρόταση 4(α) της 11ης εβδομάδας, το k είναι υποχρεωτικά μικρότερο ή ίσο του n), τότε μπορώ να συμπληρώσω το σύνολο {w1,...,wk} με n-k κατάλληλα επιλεγμένα διανύσματα της B, έτσι ώστε να προκύψει νέα βάση του V, η οποία θα περιέχει τα w1,...,wk.
    2. Αν ο V είναι πεπερασμένης διάστασης διανυσματικός χώρος και W είναι υπόχωρος του V, τότε dim(V) μικρότερο ή ίσο του dim(W). Αν ισχύει το ίσον, τότε W = V.
    3. Αν ο V είναι πεπερασμένης διάστασης διανυσματικός χώρος και U, W είναι υπόχωροι του V, τότε dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U τομή W).
    • Ευθύ άθροισμα υποχώρων. Αν V είναι διανυσματικός χώρος και U,W είναι υπόχωροι του V, τότε λέμε ότι το άθροισμα U+W είναι ευθύ, αν το μόνο κοινό στοιχείο των U, W είναι το μηδενικό διάνυσμα. Ισχύουν τα εξής:
    1. Αν ο διανυσματικός χώρος V είναι ευθύ άθροισμα κάποιων υποχώρων του U και W, τότε κάθε διάνυσμα v του V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως v = u + w, με το u διάνυσμα του U και το w διάνυσμα του W. 
    2. Αν V είναι πεπερασμένης διάστασης διανυσματικός χώρος και U είναι υπόχωρος του V, τότε υπάρχει υπόχωρος W του V, τέτοιος ώστε ο V = U+W και το άθροισμα των υποχώρων είναι ευθύ.
    • Γραμμικές απεικονίσεις. Αν V και W είναι διανυσματικοί χώροι πάνω από το ίσιο σώμα K, λέμε ότι μια απεικόνιση L: V --> W είναι γραμμική αν: (α) L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) για όλα τα v1, v2 του V, και (β) L(kv)=kL(v) για κάθε k στο K και κάθε v στο V. Στην περίπτωση που V=Rn και W=Rm, ο ορισμός συμπίπτει με τον ήδη γνωστό μας ορισμό της γραμμικής απεικόνισης.
    • Μονομορφισμός, επιμορφισμός, ισομορφισμός, πυρήνας μιας γραμμικής απεικόνισης L (συμβολικά ker(L)), εικόνα μιας γραμμικής απεικόνισης L (συμβολικά Im(L)). Ορίζονται ακριβώς όπως και στην περίπτωση των διανυσματικών χώρων τύπου Rn.
    • Έστω ότι L: V --> W είναι γραμμική απεικόνιση μεταξύ των διανυσματικών χώρων V και W (πάνω από το ίδιο σώμα K). Τότε ισχύουν τα εξής:
      1. Αν V0 είναι υπόχωρος του V, τότε L(V0) είναι υπόχωρος του W. Ειδική περίπτωση: V0=V. Τότε Im(L) = L(V) είναι υπόχωρος του W.
      2. Αν W0 είναι υπόχωρος του W, τότε το σύνολο L-1(W0) είναι υπόχωρος του V. Ειδική περίπτωση: W0={0}. Τότε ker(L) = L-1({0}) είναι υπόχωρος του V.
      3. Αν η διάσταση του V είναι πεπερασμένη, τότε και η διάσταση του Im(L) είναι πεπερασμένη και, επιπλέον, ισχύει: dim(V) = dim(Im(L)) + dim(ker(L)).
      4. Η L είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ker(L) ={0}.
      5. Αν L είναι ισομορφισμός, τότε και η απεικόνιση L-1: W --> V είναι ισομορφισμός.

    • Στήλη συντεταγμένων ενός διανύσματος u του (πεπερασμένης διάστασης) διανυσματικού χώρου V  ως προς μία βάση B του V. Συμβολίζεται με uB.

      Πίνακας γραμμικής απεικόνισης L: V --> W ως προς βάσεις B του V και C του W. Αν B={b1,...,bn} και C={c1,...,cm}, τότε ο πίνακας αυτός κατασκευάζεται ως εξής: Για κάθε i=1,...,n υπολογίζομε το L(bi) και, μετά, τη στήλη συντεταγμένων του ως προς τη βάση C, δηλαδή τη στήλη L(bi)C. Ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης L ως προς τις βάσεις B και C αυτός που έχει στήλες τις L(b1)C, L(b2)C,...,L(bn)C. Είναι πίνακας m x n και συμβολίζεται CLB. 

      Αποδείξαμε την εξής πολύ σημαντική σχέση: Για κάθε διάνυσμα v του V ισχύει L(v)C = (CLB)uB. 


      Οι ασκήσεις των εργαστηρίων τούτης της εβδομάδας δεν αναφέρονται σε γραμμικές απεικονίσεις, στις οποίες και θα αναφερθούμε στις ασκήσεις της επόμενης εβδομάδας.

  • 13η διδακτική εβδομάδα: 17-21 Δεκεμβρίου

    Τελευταία διδακτική εβδομάδα.

    Συμβολισμός. Αν V είναι διανυσματικός χώρος, με idV συμβολίζομε την ταυτοτική απεικόνιση V --> V. Συχνά, όταν είναι σαφές σε ποιον διανυσματικό χώρο αναφερόμαστε, γράφομε, αντί idV απλώς idV.

    Αν V είναι διανυσματικός χώρος και B, C δύο βάσεις του V, τότε ο πίνακας CidB λέγεται πίνακας μετάβασης από τη βάση B στη βάση C. Από τον ορισμό αυτό προκύπτει αμέσως ότι, αν dim(V) = n και B είναι οποιαδήποτε βάση του V, τότε BidB = In (ο ταυτοτικός n x n πίνακας).

    Πρόταση 1. Έστω L: U --> V και M: V --> W γραμμικές απεικονίσεις. Αν A είναι βάση του U, B βάση του V και C βάση του W, τότε ισχύει η σχέση C(MoL)A = (CMB)(BLA).

    Πρόταση 2. (Πόρισμα της προηγούμενης). Έστω L: V --> W ισομορφισμός. Αν B είναι βάση του V και C είναι βάση του W, τότε ισχύει η σχέση B(L-1)C = (CLB)-1.

    Πρόταση 3. (Πόρισμα της προηγούμενης). Αν B, C είναι βάσεις του διανυσματικού χώρου V, τότε BidC = (CidB)-1. 

  • 24-30 Δεκεμβρίου

    Διακοπές Χριστουγέννων

    • 31 Δεκεμβρίου - 6 Ιανουαρίου

      Διακοπές Χριστουγέννων

      • 7-13 Ιανουαρίου

        Εξεταστική περίοδος

        • 14-20 Ιανουαρίου

          Εξεταστική περίοδος

          • 21-27 Ιανουαρίου

            Εξεταστική περίοδος (λήγει στις 25 Ιανουαρίου)

            Εξέταση του μαθήματος: 23 Ιανουαρίου 9-12. 

            • Η τελική βαθμολογία της εξέτασης του Ιανουαρίου αναρτήθηκε στο classweb.

          • 28 Ιανουαρίου - 3 Φεβρουαρίου

            Εβδομάδα δίχως εξετάσεις/μαθήματα

            • 4-10 Φεβρουαρίου

              Έναρξη του εαρινού εξαμήνου

              • 26 - 30 Αυγούστου

                Επαναληπτική εξέταση (περιόδου Σεπτεμβρίου) στις 26 Αυγούστου, ώρα 9 π.μ.

              • 8 July - 14 July

                • 22 July - 28 July