Course: Άλγεβρα Ι (μεταπτ.)

Weekly outline

General
Α10 - ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (Χειμερινό Εξάμηνο 2021-22)
Η τελική εξέταση του μαθήματος θα γίνει την Παρασκευή 28 Ιανουαρίου στις 15.00 (Αίθουσα Β214). Δείτε παρακάτω την Ύλη επανάληψης για το τελικό διαγώνισμα. Ώρες γραφείου όπου θα συζητήσουμε ασκήσεις-απορίες θα γίνουν την Τετάρτη 26/1 στις 16.00.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ (23/12): Έχει αναρτηθεί το 4ο σύνολο Ασκήσεων 😉 [Διόρθωση: στην Άσκηση 7, o δακτύλιος \( S\) είναι ακέραια περιοχή. Επίσης, στην Άσκηση 2 που αφορά διαστάσεις αλγεβρικών συνόλων, το σώμα \( k \) είναι αλγεβρικά κλειστό]
ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Η πρόοδος θα λάβει χώρα την Πέμπτη 9-12-2021, ώρα 17:00-19:00. Δείτε παρακάτω την Ύλη Επανάληψης για την Πρόοδο
ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: Τρίτη - Πέμπτη 17.00-19.00 (αίθουσα B214)
ΩΡΕΣ ΓΡΑΦΕΙΟΥ: Τετάρτη 16.00-18.00 ( https://zoom.us/j/97932826796 )
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:
Andreas Gathmann - Commutative Algebra
Gregor Kemper - A course in Commutative Algebra (κατεβάστε-το από δίκτυο Ελληνικού Παν/μιου μέσω της υπηρεσίας https://www.heal-link.gr/ - ηλεκτρονικές πηγές/ηλεκτρονικά βιβλία)
Χαρά Χαραλάμπους - Μια Εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ:

Ο τελικός βαθμός του μαθήματος θα υπολογιστεί ως εξής:

1. Πρόοδος: 30%

2. Βαθμός τελικής εξέτασης: 50%

2. Ασκήσεις, παρουσίαση ασκήσεων: 20%
4 October - 10 October
Επανάληψη: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. ΠΜΑ και ΕΠ. Τα παραδείγματα \( k[x] \) και \(k[x,y]\). Ιδεώδη, αθροίσματα και γινόμενα ιδεωδών. Ιδεώδη σε ΕΠ και σε ΠΜΑ. Δακτύλιος πηλίκων, αντιστοιχία μεταξύ ιδεωδών δακτυλίου \( R \) που περιέχουν ένα ιδεώδες \( I \) και αυτών τού δακτυλίου πηλίκων \( R/I \).
11 October - 17 October
[Το μάθημα τής Τρίτης 12/10 ακυρώθηκε λόγω τού σεισμού].
Ευθέα γινόμενα δακτυλίων. Ιδεώδη σε ευθέα γινόμενα δακτυλίων. Το Chinese Remainder Theorem. Ριζικά ιδεώδη.
18 October - 24 October
19-10-21 Ύπαρξη πρώτων ιδεωδών (Λήμμα του Zorn), ριζικά ιδεώδη (παραδείγματα), εισαγωγή στα προβλήματα της Αλγεβρικής Γεωμετρίας (οι διάφορες μορφές του Nullstellesatz)
21-10-21 Ιδεώδη του \( R \) και του \( R/I \) (ο συμβολισμός \( J/I \) ), ριζικό του \( Ι \) ως τομή πρώτων ιδεωδών που περιέχουν το \( Ι \) , ανάγωγα ιδεώδη (παραδείγματα), δακτύλιοι της Noether (ορισμός, ισοδύναμες συνθήκες)-παραδείγματα, διάσταση του Krull, περασμένα-άπειρα αθροίσματα και πεπερασμένα γινόμενα ιδεωδών, αλγεβρικά υποσύνολα του \( k^n \) (παράδειγμα: η περίπτωση που \( n=1\) ), η τομή αλγεβρικών συνόλων είναι αλγεβρικό, η πεπερασμένη ένωση είναι αλγεβρικό, \( {\mathbb V}_{ {\rm Spec}(R)}(S)\) ως υποσύνολο του \( {\rm Spec}(R)\) , αντιστοιχία-ιδιότητες-ένωσης/τομής
- Διάλεξη Τρίτης 19ης Οκτωβρίου File
- Διάλεξη Πέμπτης 21ης Οκτωβρίου File
- 1ο Σύνολο Ασκήσεων File
  
  Παράδοση μέχρι την Τρίτη 2 Νοεμβρίου
- Παράδοση 1ου Συνόλου Ασκήσεων Assignment
  
  Opened: Tuesday, 26 October 2021, 10:00 AM
  
  Due: Tuesday, 2 November 2021, 11:59 PM
25 October - 31 October
27-10-21: Ισοδύναμες συνθήκες για έναν δακτύλιο της Noether, Θεώρημα Βάσης του Hilbert, τοπολογία του Zariski στον \( k^n \) και στον \( {\rm Spec}(R)\).
- Διάλεξη Τετάρτης 27ης Οκτωβρίου File
1 November - 7 November
2-11-21: ανάγωγα και πρωταρχικά ιδεώδη, σε έναν δακτύλιο της Noether όλα τα γνήσια ιδεώδη έχουν (πεπερασμένη) ελεύθερη απέριττη πρωταρχική ανάλυση. H Nullstellesatz, Ανάγωγα κλειστά υποσύνολα του \( k[x_1,\ldots,x_n]\) ή τού \( {\rm Spec}(R) \) και πρώτα ιδεώδη.
4-11-21: προσαρτημένα πρώτα ιδεώδη τού \( Ι \) : \( {\rm Ass}(R/I)\). Αντιστοιχία πρώτων ιδεωδών - ανάγωγων κλειστών υποσυνόλων, αντιστοιχία μέγιστων ιδεωδών - κλειστών μονοσυνόλων. Τοπολογικοί χώροι τής Noether. Το \( k^n\) και το \( {\rm Spec} (R)\) , με \( R \) δακτύλιο της Noether, είναι τοπολογικοί χώροι τής Noether.
- Διάλεξη Τρίτης 2ας Νοεμβρίου File
- Συζήτηση επί του 1ου Συνόλου Ασκήσεων (3 Νοεμβρίου) File
- Διάλεξη Πέμπτης 4ης Νοεμβρίου File
- 2ο Σύνολο Ασκήσεων File
  
  Παράδοση μέχρι Πέμπτη 18 Νοεμβρίου
- Παράδοση 2ου Συνόλου Ασκήσεων Assignment
  
  Opened: Monday, 8 November 2021, 12:00 AM
  
  Due: Thursday, 18 November 2021, 11:59 PM
8 November - 14 November
9-11-21: επεκτάσεις και συστολές ιδεωδών, τοπικοποίηση, ιδεώδη στον τοπικοποιημένο δακτύλιο, ανάλυση του τοπολογικού χώρου σε ανάγωγες συνιστώσες, τα ελαχιστοτικό πρώτα ιδεώδη είναι πεπερασμένα σε αριθμό σε έναν δακτύλιο της Noether.
11-11-21: τοπικοποίηση και ελαχιστοτικά πρώτα ιδεώδη, δακτύλιος συντεταγμένων και κανονικές συναρτήσεις
15 November - 21 November
16-11-21: παραδείγματα κανονικών συναρτήσεων, τοπικοποίηση και αλγεβρική γεωμετρία, modules και Λήμμα NAK.
18-11-21: θεώρημα των Cayley-Hamilton, πορίσματα του Λήμματος του NAK, αριθμός γεννητόρων για π.π. \( R\)-modules, συνθήκες για μία π.π. \(R\)-άλγεβρα να είναι π.π. \(R\)-module.
- Διάλεξη Τρίτης 16ης Νοεμβρίου URL
- Διάλεξη Πέμπτης 18ης Νοεμβρίου File
- 3ο Σύνολο Ασκήσεων File
  
  Παράδοση Τρίτη 30 Νοεμβρίου
- Παράδοση 3ου Συνόλου Ασκήσεων Assignment
  
  Opened: Sunday, 21 November 2021, 12:00 AM
  
  Due: Tuesday, 30 November 2021, 11:59 PM
22 November - 28 November
23-11-21: συνέπειες ακεραιότητας από αλγεβρογεωμετρική σκοπιά, επικάθηση ιδεωδών
25-11-21: ακεραιότητα περνώντας στο πηλίκο, ακεραιότητα τοπικοποιώντας, μη συγκρισιμότητα, ακεραιότητα ακέραιες περιοχές και αντιστρεψιμότητα, αν \( \phi: Y \to X \) μορφισμός ανάγωγων αλγεβρικών συνόλων τέτοιος ώστε \( k[Y]\) να είναι ακέραια επέκταση του \( k[X] \) τότε \( \phi^{-1} (x) \) είναι πεπερασμένο για κάθε \( x \) στο \( X\)
29 November - 5 December
30-11-21: θεώρημα κανονικοποίησης της Noether, θεώρημα ανάβασης, αν \( R'\) είναι π.π. \( R\) -άλγεβρα και ακέραια επέκταση του \( R\) , τότε για κάθε πρώτο ιδεώδες τού \( R\) , υπάρχει πεπερασμένος αριθμός πρώτων ιδεωδών τού \( R'\) που συστέλλονται σε αυτό.
2-12-21: Απόδειξη τής weak NSS και τής NSS. Διάσταση Krull ενός δακτυλίου. Ακέραιες επεκτάσεις δακτυλίων διατηρούν τη διάσταση. Η διάσταση του \( k[x_1,\ldots, x_n]\).
6 December - 12 December
7-1221: είναι τα ύψη ιδεωδών και η διάσταση του Krull πεπερασμένοι αριθμοί? διάσταση από γεωμετρική άποψη. Modules της Noether και του Artin.
9-12-21: ΠΡΟΟΔΟΣ
- Διάλεξη Τρίτης 7ης Δεκεμβρίου File
- Συζήτηση επί του 3ου Συνόλου Ασκήσεων (8 Δεκεμβρίου) File
13 December - 19 December

14-12-21: \( R \) είναι δακτύλιος του Artin αν-ν ο \( R\) είναι δακτύλιος της Noether με \( {\rm dim } R =0\). Τα ιδεώδη \(Q^{(n)}\) είναι \(Q\)-πρωταρχικά (\(Q\) πρώτο ιδεώδες).
16-12-21: Θεώρημα Αποφυγής Πρώτων Ιδεωδών. Αν \( R\) είναι δακτύλιος της Noether και ένα πρώτο ιδεώδες \(P\) "κάθεται" ελαχιστοτικά πάνω από ένα κύριο ιδεώδες, τότε \( {\rm ht}(P)=0\). Γεωμετρική ερμηνεία: διάσταση και ανάγωγες συνιστώσες.
- Διάλεξη Τρίτης 14ης Δεκεμβρίου File
- Διάλεξη Πέμπτης 16ης Δεκεμβρίου File
20 December - 26 December
21-12-21: Αν \(Ι \) παράγεται από \( n \) στοιχεία, τότε \( {\rm ht}(I)\) είναι το πολύ \( n \). Αν \( {\rm ht}(P)=n \) τότε υπάρχει ένα ιδεώδες \(Ι \) που παράγεται από \( n \) στοιχεία έτσι ώστε το \(P \) να είναι ελαχιστοτικό πρώτο ιδεώδες του \( Ι \) . Συνδιάσταση.
- Διάλεξη Τρίτης 21ης Δεκεμβρίου File
- 4ο Σύνολο Ασκήσεων File
  
  Παράδοση μέχρι την Κυριακή 16 Ιανουαρίου 2022
- Παράδοση 4ου Συνόλου Ασκήσεων Assignment
  
  Opened: Wednesday, 12 January 2022, 12:00 AM
  
  Due: Sunday, 16 January 2022, 11:59 PM
27 December - 2 January
3 January - 9 January
10 January - 16 January
- project_1 (Γ. Παπαδημητρίου - Ε. Σπυριδάκης) File
- project_2 (Ε. Kαρτσάκη, Ν. Καλλέργης, Ν. Σπιθάκη) File
17 January - 23 January
24 January - 30 January
- Συζήτηση επί του 4ου Συνόλου Ασκήσεων (26 Ιανουαρίου) File

Weekly outline

Stay in touch