Weekly outline

• General
  

  General

  • Εγγραφή στην ιστοσελίδα του μαθήματος URL
  • Announcements Forum
  • MEM-106 Γραμμική Άλγεβρα Ι

    Καθηγητές Π. Πάμφιλος (Γραφείο Γ-310) - Ν.Γ. Τζανάκης (Γραφείο Γ-313)                                                  

    Τμήμα Α: Π. Πάμφιλος. Οι φοιτητές των οποίων τα επίθετα αρχίζουν από Α-Μα.                       

    Τμήμα Β: Ν.Γ. Τζανάκης. Οι φοιτητές των οποίων τα επίθετα αρχίζουν από Με-Ω.          

     

    Πρόγραμμα μαθημάτων και εργαστηρίων

    	Δευτέρα 1-3 Εργαστήριο	Τρίτη 9-11	Τετάρτη 1-3 Εργαστήριο	Παρασκευή 1-3
    Τμήμα Α	Ε 212	Α 201	Ε 212	Α 201
    Τμήμα Β	Ε 214	Α 203	Ε 214	Α 203

    
    Τα εργαστήρια αρχίζουν τη Δευτέρα 12 Φεβρουαρίου
                                       

             Περιεχόμενο του μαθήματος

    • Διανυσματικοί χώροι. Γραμμικοί υπόχωροι. Γραμμική ανεξαρτησία, βάση, διάσταση. Άθροισμα υποχώρων.
    • Γραμμικές απεικονίσεις, υπόχωροι που σχετίζονται με μία γραμμική απεικόνιση. Σύνθεση. Ισομορφισμοί.
    • Ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων. Χώρος πηλίκο. Θεωρήματα ισομορφισμού. Δυϊκοί χώροι.
    • Πίνακας γραμμικής απεικόνισης ως προς μία βάση. Αλλαγή βάσης.
    • Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα. Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Θεώρημα Caley-Hamilton. Τριγωνοποίηση πίνακα.
    • Νόρμα και εσωτερικό γινόμενο. Ορθοκανονικοποίηση Gramm-Schmidt. Διαγωνιοποίηση συμμετρικών και ερμιτιανών πινάκων.
    • Τριγωνοποίηση πινάκων.
  • Συνιστώμενη βιβλιογραφία

  • Χρ. Κουρουνιώτης. Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Ι URL
  • Π. Πάμφιλος. Γραμμική Άλγεβρα URL
  • Δ.Α. Βάρσος, Δ.Ι. Δεριζιώτης, Ι.Π. Εμμανουήλ, Μ.Π. Μαλιάκας, Α.Δ. Μελάς, Ο.Π. Ταλέλλη. Μια εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα URL
  • Δ. Γεωργίου, Ι. Κούγιας, Θ. Μεγαρίτης. Γραμμική Άλγεβρα URL
  • Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Βαβατούλας, Χ. Χαραλάμπους. Γραμμική Άλγεβρα URL
  • Βαθμολογία. 
    (1) Υποχρεωτική πρόοδος την Πέμπτη 15 Μαρτίου. 
    (2) Εξέταση της περιόδου Ιουνίου.
    Βαθμός της εξεταστικής περιόδου Ιουνίου = 20%(Βαθμός προόδου) + 80%(Βαθμός της εξέτασης Ιουνίου).

    Στην εξέταση του Σεπτεμβρίου δεν θα συμμετέχει ο βαθμός της προόδου.

• 1η εβδομάδα: 5-11 Φεβρουαρίου
  

  1η εβδομάδα: 5-11 Φεβρουαρίου

  • Υπενθύμιση των πράξεων στο Rⁿ (πρόσθεση διανυσμάτων και πολλαπλασιασμός πραγματικού αριθμού επί διάνυσμα) και των ιδιοτήτων τους.
  • Αλγεβρικό σώμα. Βασικά αλγεβρικά σώματα: Q, R, C.
  • Διανυσματικός χώρος πάνω από ένα σώμα K. Παραδείγματα.
  • Διανυσματικοί χώροι, που σχετίζονται με γραμμικά συστήματα: Μηδενόχωρος, Χώρος γραμμών, Χώρος στηλών.
  • (Διανυσματικός) Υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου. Παραδείγματα.
  • Γραμμικοί συνδυασμοί διανυσμάτων.
  • Υπόχωροι παραγόμενοι από ένα σύνολο διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου.

  Η παραπάνω ύλη αντιστοιχεί, κατά προσέγγιση στο Κεφάλαιο 1 των Σημειώσεων Γραμμικής Άλγεβρας Ι του Χρ. Κουρουνιώτη, δίχως τα λήμματα 1.3, 1.4 και 1.5.

  Τα Παραδείγματα 1.2, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.19, 1.23 καθώς και η Άσκηση 1.1, είναι προς το παρόν, εκτός ύλης.  

  • Ασκήσεις/quiz αυτής της εβδομάδας File

    Οι ασκήσεις αυτές αντιστοιχούν σε ύλης τούτης της εβδομάδας και θα είναι το αντικείμενο μελέτης των εργαστηρίων της επόμενης εβδομάδας.
    Μέρος αυτών των ασκήσεων/quiz είναι για την προσωπική σας μελέτη.

• 2η εβδομάδα: 12-18 Φεβρουαρίου
  

  2η εβδομάδα: 12-18 Φεβρουαρίου

  • Γραμμικοί συνδυασμοί.
  • Υπόχωρος παραγόμενος από ένα σύνολο διανυσμάτων.
  • Γραμμική εξάρτηση ενός συνόλου διανυσμάτων.
  • Γραμμική ανεξαρτησία ενός συνόλου διανυσμάτων.
  • Βάση ενός διανυσματικού χώρου.
  • Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου.

  Η ύλη, που διδάχθηκε, περιέχεται στο Κεφάλαιο 2 των Σημειώσεων του Χρ. Κουρουνιώτη, μέχρι και τον ορισμό της διάστασης, στη σελίδα 30.
• 3η εβδομάδα: 19-25 Φεβρουαρίου
  

  3η εβδομάδα: 19-25 Φεβρουαρίου

  • Τη Δευτέρα 19/2 (Καθαρά Δευτέρα) δεν έγινε μάθημα.
  • Στο δεύτερο μάθημα διαλέξεων αυτής της εβδομάδας λύθηκαν ασκήσεις επί της πρόσφατης θεωρίας.   
    Μια χαρακτηριστική άσκηση, που συζητήθηκε, είναι η εξής: Έστω ο C-διανυσματικός χώρος C⁴ και οι υπόχωροι U={ (z₁,z₂,z₃,z₄) : z₁=z₂ και z₄=0} και  W=< (1,0,0,0), (i,1,0,0), (0,i,1,0)>. 
    (1) Αποδείξτε ότι ο U είναι υπόχωρος του W. 
    (2) Βρείτε βάση του U και βάση του W, τέτοιες ώστε, η πρώτη να περιέχεται στη δεύτερη.
  • Συζητήθηκε ο K-διανυσματικός χώρος K[x] των πολυωνύμων μεταβλητής x, με συντελεστές από το σώμα K. 

  • Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας File

    Οι ασκήσεις αυτές αντιστοιχούν σε ύλης τούτης της εβδομάδας.
    Μέρος αυτών των ασκήσεων είναι για την προσωπική σας μελέτη.

• 4η εβδομάδα: 26 Φεβρουαρίου - 4 Μαρτίου
  

  4η εβδομάδα: 26 Φεβρουαρίου - 4 Μαρτίου

  • Γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων
  • Πυρήνας Ker(f) και εικόνα Im(f) μιας γραμμικής απεικόνισης f
  • Εικόνα ενός υποχώρου του πεδίου ορισμού μιας γραμμικής απεικόνισης
  • Αντίστροφη εικόνα ενός υποχώρου του πεδίου τιμών μιας γραμμικής απεικόνισης
  • Παραδείγματα

  Η ύλη που διδάχθηκε αντιστοιχεί, κατά προσέγγιση, στο κεφάλαιο 3 των Σημειώσεων του Χρ. Κουρουνιώτη, μέχρι και το Θεώρημα 3.5.

  • 1ο σετ ασκήσεων αυτής της εβδομάδας File

    Το 1ο σετ ασκήσεων είναι για το εργαστήριο της Δευτέρας 26 Φεβρουαρίου.

  • 2ο σετ ασκήσεων αυτής της εβδομάδας File

    Το 2ο σετ ασκήσεων είναι για το εργαστήριο της Τετάρτης 28 Φεβρουαρίου.

• 5η εβδομάδα: 5-11 Μαρτίου
  

  5η εβδομάδα: 5-11 Μαρτίου

  • Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακας γραμμικής απεικόνισης ως προς δύο βάσεις.
  • Πίνακας της σύνθεσης δύο γραμμικών απεικονίσεων. Ισομορφισμός διανυσματικών χώρων.
  • Πίνακας του αντίστροφου ισομορφισμού.
  • Αλλαγή βάσης σε ένα διανυσματικό χώρο.

  Η ύλη που διδάχθηκε αντιστοιχεί, κατά προσέγγιση, στο κεφάλαιο 5 των Σημειώσεων Χρ. Κουρουνιώτη, πλην της ενότητας που επιγράφεται "Πίνακας δυϊκής απεικόνισης" (η ενότητα αυτή δεν διδάχθηκε). 

  • 1ο σετ ασκήσεων αυτής της εβδομάδας File

    Το 1ο σετ ασκήσεων είναι για το εργαστήριο της Δευτέρας 5 Μαρτίου.

  • 2ο σετ ασκήσεων αυτής της εβδομάδας File

    Ασκήσεις για το εργαστήριο της Τετάρτης 7 Μαρτίου

• 6η εβδομάδα: 12-18 Μαρτίου
  

  6η εβδομάδα: 12-18 Μαρτίου

  • Γραμμική τελεστής ενός διανυσματικού χώρου.
  • Ιδιοτιμές/ιδιοδιανύσματα ενός γραμμικού τελεστή και ο ιδιόχωρος, που αντιστοιχεί σε μια ιδιοτιμή. 
  • Ιδιοτιμές/ιδιοδιανύσματα ενο τετραγωνικού πίνακα (υπενθύμιση).
  • Συσχέτιση των ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων ενός τελεστή με τις ιδιοτιμές/ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα. 
  • Παραδείγματα.

  Η ύλη που διδάχθηκε αντιστοιχεί, κατά προσέγγιση, στο κεφάλαιο 6 των σημειώσεων Χρ. Κουρουνιώτη, μέχρι και το παράδειγμα 6.4.

  Εξέταση προόδου, Πέμπτη 15 Μαρτίου

  Τμήμα Α (Π. Πάμφιλου): Ώρα 5 μ.μ.

  Τμήμα Β (Ν.Γ. Τζανάκη): Ώρα 6:30' μ.μ.

  • Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας File

    Οι ασκήσεις αυτές είναι για τα εργαστήρια της Δευτέρας 12/3 και Τετάρτης 14/3.

• 7η εβδομάδα: 19 - 25 Μαρτίου
  

  7η εβδομάδα: 19 - 25 Μαρτίου

  • Αναφέραμε το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: Κάθε μη σταθερό πολυώνυμο f(x) με μιγαδικούς συντελεστές έχει μια ανάλυση της μορφής
    f(x)=c(x-z₁)^r₁...(x-z_k)^r_k , όπου οι z₁,...,z_k είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και οι εκθέτες r₁,...,r_k είναι θετικοί.
    Οι  z₁,...,z_k λέγονται ρίζες του f(x) και οι εκθέτες r₁,...,r_k είναι οι αντίστοιχες αλγεβρικές πολλαπλότητες των ριζών.
  • Λύσαμε ασκήσεις και παραδείγματα. Δείτε αμέσως παρακάτω.

  • Παραδείγματα/ασκήσεις της εβδομάδας 19-23 Μαρτίου File

    Συζητήθηκαν και λύθηκαν  στις διαλέξεις.

  • Ασκήσεις για τα εργαστήρια αυτής της εβδομάδας File

    Οι ασκήσεις αυτές βασίζονται, κυρίως, στην ύλη που διδάχθηκε την προηγούμενη (6η) εβδομάδα.

  • Βαθμοί Προόδου File
• 26 Μαρτίου - 1 Απριλίου
  

  26 Μαρτίου - 1 Απριλίου

  • Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο.
  • Ανισότητα Cauchy-Schwarz.
  • Διανυσματικοί χώροι με νόρμα (ή στάθμη).
  • Νόρμα η οποία ορίζεται μέσω εσωτερικού γινομένου.
  • Νόμος του παραλληλογράμμου και (γενικευμένο) Πυθαγόρειο Θεώρημα.
  • Ασκήσεις και παραδείγματα.

  Η ύλη, που διδάχθηκε, περιέχεται στο Κεφάλαιο 7 των Σημειώσεων Χρ. Κουρουνιώτη, μέχρι και το Παράδειγμα 7.10.

  • Οι ασκήσεις του εργαστηρίου της Δευτέρας 26 Μαρτίου File

    Αναφέρονται στην ύλη των δύο προηγουμένων εβδομάδων.

  • Ασκήσεις του εργαστηρίου της Τετάρτης 28 Μαρτίου File

    Αναφέρονται στην ύλη του εσωτερικού γινομένου.

• 2 - 8 Απριλίου
  

  2 - 8 Απριλίου

  Διακοπές του Πάσχα
• 9 - 15 Απριλίου
  

  9 - 15 Απριλίου

  Διακοπές του Πάσχα
• 16 - 22 Απριλίου
  

  16 - 22 Απριλίου

  • Ορθοκανονικά σύνολα διανυσμάτων. Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. (Σελ. 106-108 των σημειώσεων Χρ. Κουρουνιώτη.)
  • Τελεστές σε χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Ερμιτιανοί τελεστές. (Σελ. 111-113 των σημειώσεων Χρ. Κουρουνιώτη.)

  • Ασκήσεις για το εργαστήριο της Δευτέρας 16 Απριλίου File

    Σύσταση: Προσπαθήστε να λύσετε κάποιες από αυτές τις ασκήσεις την περίοδο των διακοπών.

  • Ασκήσεις για το εργαστήριο της Τετάρτης 18 Απριλίου File

    Αναφέρονται, κυρίως, στη μέθοδο Gram-Schmidt.

• 23 - 29 Απριλίου
  

  23 - 29 Απριλίου

  Ορθομοναδιαίοι και ορθογώνιοι τελεστές. Σελίδες 114-115 των σημειώσεων Χρ. Κουρουνιώτη.

  • Ασκήσεις για το εργαστήριο της Δευτέρας 23 Απριλίου File

    Αναφέρονται κυρίως σε ερμιτιανούς τελεστές και πίνακες

  • Ασκήσεις για το εργαστήριο της Τετάρτης 25 Απριλίου File

    Αναφέρονται κυρίως σε ορθομοναδιαίους τελεστές και πίνακες

• 30 Απριλίου - 6 Μαΐου
  

  30 Απριλίου - 6 Μαΐου

  Διαγωνιοποίηση ερμιτιανών πινάκων. Παραδείγματα θα συζητηθούν εκτενώς την επόμενη εβδομάδα. 

  Κάποια χρήσιμα στοιχεία από τη θεωρία περιέχονται στο παρακάτω αρχείο

  • Χρήσιμη θεωρία File

    Σχετίζεται με την ύλη, που διδάχθηκε τούτη την εβδομάδα.

  • Οι ασκήσεις εργαστηρίου αυτής της εβδομάδας File

    Περιέχονται και ασκήσεις, που αναφέρονται σε προηγούμενη ύλη.

• 7 - 13 Μαΐου
  

  7 - 13 Μαΐου

  Το Λήμμα του Schur. Τριγωνοποίηση πίνακα. Βλ. Λήμμα 8.6 των Σημειώσεων του Χρ. Κουρουνιώτη. Συζητήθηκαν εκτενώς συγκεκριμένα παραδείγματα. Δείτε το κείμενο με τίτλο "Διαγωνιοποίηση-Τριγωνοποίηση".

  • Διαγωνιοποίηση-Τριγωνοποίηση File

    Συζητούνται εκτενώς συγκεκριμένα υπολογιστικά παραδείγματα.

  • Οι ασκήσεις εργαστηρίου αυτής της εβδομάδας File

    Αναφέρονται σε διαγωνιοποίηση και τριγωνοποίηση πινάκων

• 14 - 20 Μαΐου. Λήξη των μαθημάτων
  

  14 - 20 Μαΐου. Λήξη των μαθημάτων

  Επαναληπτικές ασκήσεις για τα εργαστήρια και για τα μαθήματα της Τρίτης και της Παρασκευής.

  • Ασκήσεις αυτής της εβδομάδας File
  • Ασκήσεις για επανάληψη File
  • Στο παρακάτω αρχείο "Ορθογώνιοι πίνακες"  δίδονται 22 ιδιότητες των ορθογωνίων πινάκων, ως βαθύτερη εφαρμογή μέρους αυτών τα οποία εδιδάχθηκαν στο μάθημα. Οι 11 πρώτες  αποτελούν ένα καλό συμπλήρωμα της μελέτης σας, αφού πρώτα κατανοήσετε τις περισσότερες από τις ασκήσεις των φυλλαδίων, τα οποία διανέμονταν κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Οι ιδιότητες 12-22 δεν είναι απαραίτητες για τη μελέτη σας και απευθύνονται σε όσους ενδιαφέρονται για περαιτέρω εφαρμογές της βασικής Γραμμικής Άλγεβρας στη Γεωμετρία. Κάποιες από αυτές τις ιδιότητες μπορεί να "συναντήσετε" και στα επόμενα χρόνια των σπουδών σας, προπτυχιακά είτε μεταπτυχιακά.

  • Ορθογώνιοι πίνακες File
• 21-27 Μαΐου
  

  21-27 Μαΐου

  Εξεταστική περίοδος
• 28 Μαΐου - 3 Ιουνίου
  

  28 Μαΐου - 3 Ιουνίου

  Εξεταστική περίοδος
• 4 - 10 Ιουνίου
  

  4 - 10 Ιουνίου

  Εξεταστική περίοδος

  Εξέταση του μαθήματος στις 8 Ιουνίου, 9-11 το τμήμα Α και 11-1 το τμήμα Β. 

  • Τελικός βαθμός Ιουνίου File

    Στο παραπάνω αρχείο θα βρείτε όλες τις σχετικές πληροφορίες.

    Υπενθυμίζονται τα εξής:

    1. Στην εξέταση του Ιουνίου, σε όσους απάντησαν σωστά σε τουλάχιστον τέσσερις ερωτήσεις, χαρίσθηκε μία "ποινή", άρα, σε αυτούς, ο βαθμός της εξέτασης του Ιουνίου βελτιώνεται κατά 0.25. 
    2. Σε όλους γίνεται συμψηφισμός του βαθμού του Ιουνίου (Ι) με τον βαθμό της προόδου (Π) και προκύπτει ο βαθμός β = 0.8 x I + 0.2 x Π.
    3. Ο β στρογγυλεύται στον πλησιέστερο ημι-ακέραιο και ο αριθμός που προκύπτει είναι ο τελικός βαθμός του Ιουνίου.

    Δεν θα γίνει δεκτό κανένα αίτημα για περαιτέρω βελτίωση της βαθμολογίας σας.

    Π. Πάμφιλος - Ν.Γ. Τζανάκης

• 11 June - 17 June is not available
• 18 June - 24 June is not available
• 25 June - 1 July is not available
• 2 July - 8 July is not available
• 9 July - 15 July is not available
• 16 July - 22 July is not available
• 23 July - 29 July is not available
• 30 July - 5 August is not available
• 6 August - 12 August
  

  6 August - 12 August
• 13 August - 19 August
  

  13 August - 19 August
• 20 August - 26 August
  

  20 August - 26 August
• 27 August - 2 September
  

  27 August - 2 September
• 3 - 9 Σεπτεμβρίου
  

  3 - 9 Σεπτεμβρίου

  Εξέταση 6 Σεπτεμβρίου

  • Αποτελέσματα και τελικός βαθμός Σεπτεμβρίου. Αναρτήθηκαν στο ClassWeb στις 6/10/2018.

• 10 September - 16 September
  

  10 September - 16 September
• 17 September - 23 September
  

  17 September - 23 September
• 24 September - 30 September
  

  24 September - 30 September
• 1 October - 7 October
  

  1 October - 7 October
• 8 October - 14 October
  

  8 October - 14 October
• 15 October - 21 October
  

  15 October - 21 October
• 22 October - 28 October
  

  22 October - 28 October
• 29 October - 4 November
  

  29 October - 4 November
• 5 November - 11 November
  

  5 November - 11 November
• 12 November - 18 November
  

  12 November - 18 November
• 19 November - 25 November
  

  19 November - 25 November
• 26 November - 2 December
  

  26 November - 2 December
• 3 December - 9 December
  

  3 December - 9 December
• 10 December - 16 December
  

  10 December - 16 December
• 17 December - 23 December
  

  17 December - 23 December
• 24 December - 30 December
  

  24 December - 30 December
• 31 December - 6 January
  

  31 December - 6 January
• 7 January - 13 January
  

  7 January - 13 January