Weekly outline

  • General

    ΜΕΜ 221 - ΑΛΓΕΒΡΑ Ι

    Διδάσκων: Α. Κουβιδάκης     

     

    ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ

    Η πρόοδος τού μαθήματος θα διεξαχθεί τήν Τετάρτη 28 Νοεμβρίου 17:00-19:00

    Η ύλη τής προόδου είναι αυτή που έχει διδαχθεί μέχρι και την Τετάρτη 14/11 (φυλλάδια ασκήσεων  #1 - # 8)

     

    ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΓΡΑΦΕΙΟΥ

    Ώρες Διδασκαλίας: Δευτέρα 15:00-17:00, Τετάρτη 9:00-11:00 (Αμφιθέατρο Α203)

    Ώρες Ασκησεων: Τμήμα 1 (Α-Μα), Τρίτη 13:00-15:00, (Ε204)

                                           Τμήμα 2 (Με-Ω), Τρίτη 15:00-17:00  (Ε204)

    Ώρες Γραφείου:  Δευτέρα 10:00-12:00 (Γραφείο Γ309)

    ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ

    Δ. Βάρσου, Δ. Δεριζιώτη, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκα, Ο. Ταλέλλη: Μια εισαγωγή στην Άλγεβρα.

    HOMEWORK

    Στο τέλος κάθε εβδομάδας (βλ. ημερολόγιο μαθήματος παρακάτω) θα αναρτάται ένα φυλλάδιο ασκήσεων. Αυτό θα τό συζητάμε στο δίωρο τών ασκήσεων που θα γίνονται τήν επόμενη Τρίτη (απαντώτας σε απορίες, λύνοντας κάποιες υποδειγματικές ασκήσεις ή δίνοντας υποδείξεις). Τίς ασκήσεις των φυλλαδίων θα πρέπει να τις προσπαθείτε πρώτα μόνοι σας. Αυτός είναι και ο καλύτερος τρόπος προετοιμασίας για τίς εξετάσεις. Ο σίγουρος τρόπος για να αποτύχετε στο μάθημα είναι να έχετε μόνο διαβάσει λυμένες ασκήσεις, χωρίς πρώτα να προσπαθήσετε να τίς λύσετε μόνοι σας.

    ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

    Στο μάθημα θα δοθεί μία προαιρετική πρόοδος που μετράει θετικά στο βαθμό σας κατά 30%. Ο τελικός σας βαθμός, για την εξεταστική περίοδο  Ιανουαρίου 2019, υπολογίζεται ως

                       max{ 30/100 Π +70/100 T,   T}

    όπου  Π  είναι ο βαθμός της προόδου και Τ ο  βαθμός του τελικού διαγωνίσματος  (τό τελικό διαγώνισμα θα είναι εφ' όλης τής ύλης τού μαθήματος).  Για την εξεταστική περίοδο Σεπτεμβρίου 2019, ο τελικός βαθμός είναι αυτός τού τελικού διαγωνίσματος.

  • 24 September - 30 September

    Αρχίσαμε με επανάληψη από τό μάθημα τών Θεμελίων: Διαιρετότητα ακεραίων, πρώτοι αριθμοί, μέγιστος κοινός διαιρέτης, σχετικά πρώτοι ακέραιοι, Θεώρημα ανάλυσης σε πρώτους. Εύρεση μκδ και εκπ με χρήση τού θεωρήματος ανάλυσης σε πρώτους.  Ισοτιμίες, τό σύνολο  \( {\mathbb Z}_m \) τών ακεραίων modulo m,  οι πράξεις στο \( {\mathbb Z}_m \). Ιδιότητες τών πράξεων. Αντιστρέψιμα στοιχεία τού \( {\mathbb Z}_m\) και ο χαρακτηρισμός τους. Ο  νόμος τής διαγραφής στο \( {\mathbb Z}_m\).

  • 1 October - 7 October

    Το μικρό Θεώρημα του Fermat και εφαρμογές του.  Διοφαντικες εξισώσεις- γενικά. Η διοφαντική εξίσωση \( ax+by=c\), \( a,b,c \in {\mathbb Z} \).  Εξισώσεις με ισοτιμίες.  Η εξίσωση \( ax\equiv b\, {\rm mod}m \).

  • 8 October - 14 October

    Συστήματα ισοτιμιών - τό Κινεζικό Θεώρημα υπολοίπων. Η συνάρτηση \( \phi \) τού Euler και τό σύνολο \( U({\mathbb Z}_m) \) τών αντιστρέψιμων στοιχείων τού \( {\mathbb Z}_m \). Το θεώρημα τού Euler.

  • 15 October - 21 October

    Δακτύλιοι. Απλές ιδιότητες. Μεταθετικοί δακτύλιοι και δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο. Αντιστρέψιμα στοιχεία δακτυλίου. Δεξιοί και αριστεροί μηδενοδιαιρέτες. Οι μηδενοδιαιρέτες τού δακτυλίου \( {\mathbb Z}_m \). Ακέραιες περιοχες. Σώματα. Κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα. Υποδακτύλιοι και κριτήριο υποδακτυλίου.

     Ανακοίνωση προόδου: Η πρόοδος τού μαθήματος θα διεξαχθεί την Τετάρτη 28 Νοεμβρίου, 17:00-19:00.

  • 22 October - 28 October

    Ο δακτύλιος \( R[x] \) τών πολυωνύμων μεταβλητής \( x \) με συντελετές σε δακτύλιο   \( R \). Ο βαθμός αθροίσματος και γινομένου πολυωνύμων. Τα αντιστρέψιμα στοιχεία τού δακτυλίου \( R[x] \) για \( R \) ακέραια περιοχή. Πολυώνυμα και πολυωνυμικές συναρτήσεις.

  • 29 October - 4 November

    Η ευκλείδεια διαίρεση στον δακτύλιο \( F[x] \), όπου \(F=\)σώμα. Πότε μπορούμε να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα τού \( R[x] \), όπου \( R=\)μεταθετικός δακτύλιος. Μονικά πολυώνυμα. Ο μ.κ.δ. δύο πολυωνύμων τού \( F[x] \), όπου \(F=\)σώμα. Ο ευκλείδειος αλγόριθμος εύρεσης μ.κ.δ. πολυωνύμων. Σχετικά πρώτα πολυώνυμα και οι ιδιότητες τους. Το θεώρημα ανάλυσης μή σταθερού πολυωνύμου τού \( F[x] \), όπου \(F=\)σώμα, σε γινόμενο μονικών αναγώγων πολυωνύμων. 

  • 5 November - 11 November

    Ρίζες πολυωνύμων.  Πότε ένα πολυώνυμο 2ου ή 3ου βαθμού με συντελεστές σε σώμα  είναι ανάγωγο. Αν τά \( a_1,...,a_s \) είναι (διαφορετικές) ρίζες τού \( f(x) \), τότε \( (x-a_1)\cdots (x-a_s) \mid f(x) \) και εφαρμογές αυτού. Ανάλυση σε ανάγωγα πολυωνύμου τού \( {\mathbb C}[x]\). Ανάλυση σε ανάγωγα πολυωνύμου τού \( {\mathbb R}[x]\).

  • 12 November - 18 November

    Ομομορφισμοί  δακτυλίων, μονομορφισμοί, επιμορφισμοί, ισομορφισμοί. Παραδείγματα. Η σχέση ισοδυναμίας τής ισομορφίας δακτυλίων. Το καρτεσιανό γινόμενο δακτυλίων είναι δακτύλιος. Ο ισομορφισμός  \( {\mathbb Z}_{nm} \cong  {\mathbb Z}_n \times {\mathbb Z}_m \), όταν  \( (n,m)=1\). Εικόνα και πυρήνας ομομορφισμών. Ιδεώδη δακτυλίου, ορισμός, παραδείγματα και η σημασία τους.

    Η ύλη της προόδου περιλαμβάνει όλα όσα έχουν διδαχθεί μέχρι και αυτή την εβδομάδα.

  • 19 November - 25 November

    Κύρια ιδεώδη δακτυλίου. Ιδεώδη που παράγονται από πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Αθροίσματα και γινόμενα ιδεωδών. Κάθε ιδεώδες του \( K[x]\), \( K \) σώμα, είναι κύριο, Ελάχιστο πολυώνυμο πίνακα. Ομάδες, ορισμοί και παραδείγματα. Τάξη ομάδας. Πίνακας πράξης ομάδας με πεπερασμένη τάξη. Πίνακες πράξεις ομάδων με τάξη 2, 3, και 4.

  • 26 November - 2 December

    Τάξη στοιχείου ομάδας. Ορισμοί και ιδιότητες. Η τάξη ενός στοιχείου τής ομάδας \( {\mathbb Z}_m \). Υποομάδες.  Κυκλικές υποομάδες. Τάξη κυκλικής υποομάδας.

  • 3 December - 9 December

    Κυκλικές ομάδες και οι ιδιότητές τους.  Η συμμετρική ομάδα (ομάδα μεταθέσεων) \( {\mathbb S}_n \)  τών \( n \) στοιχείων και οι ιδιότητές της. Οι τροχιές ενός \( \sigma \in {\mathbb S}_n \). Κυκλικές μεταθέσεις (κύκλοι) και η τάξη τους. Το support μιας μετάθεσης. Ξένες μεταξύ τους μεταθέσεις.  Η τάξη τού \( \sigma \tau \) όταν \( \sigma \) και \(  \tau \) είναι ξένες μεταξύ τους μεταθέσεις. Κάθε μετάθεση γράφεται  ως γινόμενο ξένων μεταξύ τους κύκλων.

  • 10 December - 16 December

    Αντιμεταθέσεις. Κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων. Μεταθέσεις και πίνακες. Το πρόσημο μιας μετάθεσης. Άρτιες και περιττές μεταθέσεις. Η εναλλάσουσα υποομάδα \( {\mathbb A}_n \)  της \( {\mathbb S}_n \). Αριστερά και δεξιά σύμπλοκα που ορίζει μια υποομάδα μιας ομάδας. Το θεωημα του Lagrange και εφρμογές του: η τάξη στοιχείου πεπερασμένης ομάδας διαιρεί την τάξη τής ομάδας, μια νεά απόδειξη του θεωρήματος τού Euler, κάθε ομάδα με τάξη πρώτο αριθμό είναι κυκλική.  Κανονικές υποομάδες.

  • 17 December - 23 December

    Κριτήριο κανονικής υποομάδος. Η σημασία τών κανονικών υποομάδων. Ομομορφισμοί ομάδων. Παραδείγματα.  Μονομορφισμοί, επιμορφισμοί και ισομορφισμοί ομάδων. Ισόμορφες ομάδες. Η εικόνα ενός ομομορφισμού είναι υποομάδα και ο πυρήνας είναι κανονική υποομάδα. Οι κυκλικές ομάδες και η κατάταξή τους (μέχρι ισομορφισμού).

    Το παρακάτω φυλλάδιο ασκήσεων θα το συζητήσουμε στο μάθημα τής Τετάρτης 19/12.

  • 24 December - 30 December

    • 31 December - 6 January

      • 7 January - 13 January

        • 14 January - 20 January

          • 21 January - 27 January

            • 28 January - 3 February

              • 4 February - 10 February

                • 11 February - 17 February

                  • 18 February - 24 February

                    • 25 February - 3 March

                      • 4 March - 10 March

                        • 11 March - 17 March

                          • 18 March - 24 March

                            • 25 March - 31 March

                              • 1 April - 7 April

                                • 8 April - 14 April

                                  • 15 April - 21 April

                                    • 22 April - 28 April

                                      • 29 April - 5 May

                                        • 6 May - 12 May

                                          • 13 May - 19 May

                                            • 20 May - 26 May

                                              • 27 May - 2 June

                                                • 3 June - 9 June

                                                  • 10 June - 16 June

                                                    • 17 June - 23 June

                                                      • 24 June - 30 June

                                                        • 1 July - 7 July

                                                          • 8 July - 14 July

                                                            • 15 July - 21 July

                                                              • 22 July - 28 July

                                                                • 29 July - 4 August

                                                                  • 5 August - 11 August

                                                                    • 12 August - 18 August

                                                                      • 19 August - 25 August

                                                                        • 26 August - 1 September

                                                                          • 2 September - 8 September

                                                                            • 9 September - 15 September

                                                                              • 16 September - 22 September