Course: 2023-24 Θεωρία Πιθανοτήτων

Collapse all Expand all

Τελικοί βαθμοί Σεπτεμβρίου 2024: εδώ.

Προς τρέχουσα εβδομάδα

ΜΕΜ-261 Θεωρία Πιθανοτήτων

Εαρινό Εξάμηνο 2023-24

εν μέρει βασισμένο στο αντίστοιχο μάθημα του

Διδάσκων: Μιχάλης Κολουντζάκης

Ώρες γραφείου: Δε. 10-11

Ωράριο Διαλέξεων: Δε., Πα. 11-1, στο αμφιθέατρο Α201

Ωράριο Ασκήσεων: Πέ., 11-1, στο αμφιθέατρο Α203 (διδάσκων: Κ. Τσίνας)

$page icon$

Page

Γενικές πληροφορίες για το μάθημα Page

Προαπαιτούμενες γνώσεις, βιβλιογραφία, βαθμολογικό σύστημα, πλάνο εργασίας.
$forum icon$

Forum

Διάφορες ανακοινώσεις για το μάθημα Forum

Διάφορες ανακοινώσεις για το μάθημα από το διδάσκοντα

$forum icon$

Forum

Συζητήσεις για το μάθημα (forum)

Εδώ υποβάλλονται ερωτήσεις για το μάθημα (διαδικαστικά, απορίες για το μάθημα, κλπ). Ο καθένας μπορεί να ρωτήσει αλλά και να απαντήσει αν νομίζει ότι ξέρει την απάντηση.

1η Εβδομάδα: 5 Φεβ - 11 Φεβ

Πειράματα, αποτελέσματα, ενδεχόμενα, πιθανότητα

Τι είναι ένα τυχαίο πείραμα; Ποια είναι τα αποτελέσματά του και τι είναι ένα ενδεχόμενο; Τι εννοούμε με την πιθανότητα ενός αποτελέσματος και τι με την πιθανότητα ενός ενδεχομένου; Αυτές είναι οι πολύ βασικές έννοιες που θα μας συνοδεύουν ολόκληρο το εξάμηνο και θέτουμε τη βάση γι' αυτές σε αυτή την εβδομάδα.

Διαβάστε τις § 11.1 και § 11.2 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά",Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 1ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 1 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 1ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 18 February 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 1ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 1 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 1 -- Λύσεις URL

2η Εβδομάδα: 12 Φεβ - 18 Φεβ

Παραδείγματα πειραμάτων

Αυτή την εβδομάδα βλέπουμε πολλά και διάφορα παραδείγματα στατιστικών (τυχαίων) πειραμάτων. Ξεκαθαρίζουμε ποια είναι τα αποτελέσματα του καθενός και τι πιθανότητα έχει το κάθε αποτέλεσμα. Βλέπουμε επίσης διάφορα ενδεχόμενα για το κάθε πείραμα και βρίσκουμε και αυτών την πιθανότητα. Βλέπουμε δειγματικούς χώρους με άπειρα, αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα στο πλήθος αποτελέσματα.

Διαβάστε τις § 11.1 και § 11.2 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά",Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 2ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 2 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 2ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 25 February 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 2ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 2 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 2 -- Λύσεις URL

3η Εβδομάδα: 19 Φεβ - 25 Φεβ

Πιθανότητα υπό συνθήκη και ανεξαρτησία

Βλέπουμε την πολύ σημαντική έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας (πώς επηρεάζει η ισχύς ενός ενδεχομένου την πιθανότητα να ισχύει ένα άλλο ενδεχόμενο) και την έννοια της ανεξαρτησίας ενδεχομένων που είναι ίσως η πιο κεντρική έννοια της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Βλέπουμε τον τύπο ολικής πιθανότητας όπως και τον τύπο του Bayes, που και οι δύο είναι πάρα πολύ χρήσιμοι στον υπολογισμό πολλών πιθανοτήτων. Η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας είναι πηγή πολλών φαινομενικών παραδόξων στη θεωρία πιθανοτήτων και βλέπουμε διάφορα από αυτά. Κάποια από αυτά μοιάζουν απίστευτα, όμως με προσεκτικούς υπολογισμούς βλέπει κανείς ότι δεν υπάρχει τίποτε το παράλογο στα τελικά τους συμπεράσματα.

Διαβάστε τις § 11.3 και § 11.4 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 3ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 3 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 3ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 3 March 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 3ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 3 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 3 -- Λύσεις URL

4η Εβδομάδα: 26 Φεβ - 3 Μαρ

Απαρίθμηση, Ι

Ξεκινάμε αυτή την εβδομάδα να μαθαίνουμε να μετράμε. Από την πολύ βασική αρχή του πολλαπλασιασμού ανεξάρτητων ή ημιανεξάρτητων επιλογών, που είναι η βάση σχεδόν για όποιο μέτρημα αντικειμένων κάνουμε, περνάμε στο μέτρημα μεταθέσεων (διατάξεων), στο μέτρημα συνδυασμών (όπου δεν έχει σημασία η σειρά επιλογής) και τους διωνυμικούς συντελεστές, και τέλος στο μέτρημα επιλογών όπου δε μας ενδιαφέρει η σειρά αλλά υπάρχει επανάθεση. Βλέπουμε πάρα πολλά παραδείγματα. Η συνηθισμένη μας πορεία όταν πάμε να μετρήσουμε μια κλάση από αντικείμενα είναι να βρούμε μια διαδικασία που να παράγει τα αντικείμενα αυτά με μοναδικό τρόπο και μετά να μετρήσουμε με πόσους τρόπους μπορεί να εξελιχθεί μια τέτοια διαδικασία.

Διαβάστε τα Κεφ. 3 και 4 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 4ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 4 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 4ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 10 March 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 4ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 4 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 4 -- Λύσεις URL

5η Εβδομάδα: 4 Μαρ - 10 Μαρ

Απαρίθμηση, ΙΙ

Βλέπουμε πρώτα το διωνυμικό θεώρημα του Νεύτωνα και το εφαρμόζουμε με διάφορους τρόπους για να υπολογίσουμε κάποια αθροίσματα. Βλέπουμε κάμποσες συνδυαστικές αποδείξεις ταυτοτήτων, στις οποίες μια ταυτότητα αποδεικνύεται ως εξής: υπολογίζουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους το πλήθος των αντικειμένων μιας κλάσης και προκύπτει το αριστερό και το δεξί μέλος της ταυτότητας, τα οποία πρέπει να είναι ίσα αφού μετράνε τα ίδια αντικείμενα. Βλέπουμε πολλά παραδείγματα τέτοιων αποδείξεων όπως και πολλά παραδείγματα απαρίθμησης αντικειμένων. Αυτή την εβδομάδα θα πρέπει να εξοικειωθούμε και με το συμβολισμό $\sum_{n=\cdots}^{\cdots} \cdots$ για το άθροισμα πολλών αντικειμένων. Το συμβολισμό αυτό θα χρησιμοποιούμε συνέχεια από δω και πέρα.

Διαβάστε τα Κεφ. 3 και 4 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 5ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 5 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 5ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 17 March 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 5ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 5 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 5 -- Λύσεις URL
$resource icon$

File

Υπόδειγμα ενδιάμεσου διαγωνίσματος File

Εδώ θα βρείτε ένα υπόδειγμα διαγωνίσματος για να πάρετε μια ιδέα πώς θα μοιάζει το πρώτο διαγώνισμα. Ενδέχεται ο αριθμός ασκήσεων να διαφέρει λίγο ή η συνολική ώρα του διαγωνίσματος. Συνιστώ έντονα να το κάνετε μέχρι τα τέλη της 6ης εβδομάδας. Οι σωστές απαντήσεις είναι (περιστραμμένες κατά γωνία π).

6η Εβδομάδα: 11 Μαρ - 17 Μαρ

Τυχαίες μεταβλητές και η κατανομή τους

Η έννοια της τυχαίας μεταβλητής (TM) ή τυχαίας ποσότητας είναι μια πολύ φυσιολογική έννοια που μας επιτρέπει να μιλήσουμε ταυτόχρονα για διάφορα τυχαία πράγματα (συνήθως ποσότητες) που εξαρτώνται από το τρέξιμο του ίδιου στατιστικού πειράματος. Βλέπουμε τι σημαίνει για μια ΤΜ να είναι διακριτή και τι να είναι συνεχής. Η πυκνότητα πιθανότητας μιας ΤΜ είναι να πούμε τι τιμές παίρνει και με τι πιθανότητα την κάθε μία. Μια άλλη συνάρτηση, πέρα από την πυκνότητα πιθανότητας μιας ΤΜ, την οποία συσχετίζουμε με την κατανομή της είναι η λεγόμενη συνάρτηση κατανομής της ΤΜ. Βλέπουμε διάφορα παραδείγματα ΤΜ και των κατανομών τους.

Διαβάστε το Κεφ. 12 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά ", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ .
Επίσης τα Κεφ. 6 και 10 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 6ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 6 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 6ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 24 March 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 6ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 6 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 6 -- Λύσεις URL

7η Εβδομάδα: 18 Μαρ - 24 Μαρ

Μέση τιμή, Ι

Αυτή την εβδομάδα βλέπουμε την έννοια της μέσης τιμής μιας ΤΜ. Η μέση τιμή της $X$, που τη συμβολίζουμε με $\Mean{X}$, είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από την κατανομή (τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) της $X$ και που προκύπτει αν προσθέσουμε όλες τις τιμές που παίρνει η $X$, ζυγίζοντας όμως την κάθε μία με την πιθανότητα που έχει να εμφανιστεί. Είναι η σημαντικότερη ποσότητα που μπορεί κανείς να εξαγάγει από μια κατανομή. Η μέση τιμή βρίσκεται πίσω από εκφράσεις του τύπου "κατά μέσο όρο", όπως π.χ. ότι κάθε Ελληνίδα έχει κατά μέσο όρο 1.32 παιδιά. Θα δούμε πώς υπολογίζουμε τη μέση τιμή για διάφορες κατανομές και διάφορες τυχαίες μεταβλητές.

Διαβάστε την παρ. 12.2 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά ", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
Επίσης τις παρ. 6.2 και 10.2 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 7ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 7 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 7ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 31 March 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 7ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 7 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 7 -- Λύσεις URL

8η Εβδομάδα: 25 Μαρ - 31 Μαρ

Μέση τιμή, ΙΙ

Η πιο σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής είναι η γραμμικότητα: η μέση τιμή του αθροίσματος κάποιων ΤΜ είναι το άθροισμα των μέσω τιμών τους. Αυτή η τόσο εύκολη και τόσο φαινομενικά ήπια ιδιότητα καθιστά τη μέση τιμή πολύ εύκολη στον υπολογισμό της αφενός και πολύ χρήσιμη σε διάφορες αποδείξεις ποσότητα αφετέρου. Πολλά προβλήματα λύνονται πολύ εύκολα με χρήση της γραμμικότητας της μέσης τιμής τα οποία θα λύνονταν πολύ πολύ πιο δύσκολα αν προσπαθούσε κανείς να υπολογίσει διάφορες πιθανότητες σχετικές με το πρόβλημα. Σε αυτή τη βδομάδα βλέπουμε διάφορα τέτοια παραδείγματα και προσπαθούμε να εξοικειωθούμε με την τεχνική του να "σπάει" κανείς μια ΤΜ σε άθροισμα απλούστερων των οποίων τη μέση τιμή μπορεί εύκολα να υπολογίσει και, μέσω της γραμμικότητας, να βρει τη μέση τιμή της αρχικής ΤΜ.

Διαβάστε την παρ. 12.2 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά ", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
Επίσης τις παρ. 6.2 και 10.2 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 8ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 8 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 8ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 7 April 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 8ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 8 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 8 -- Λύσεις URL

9η Εβδομάδα: 1 Απρ - 7 Απρ

Διασπορά

Η δεύτερη πιο σημαντική ποσότητα που χαρακτηρίζει την κατανομή μιας ΤΜ, μετά τη μέση τιμή της, είναι η διασπορά της (ή η τετραγωνική ρίζα της διασποράς, η τυπική απόκλιση), η οποία μας λέει πόσο "απλωμένη" είναι η πυκνότητα της ΤΜ γύρω από τη μέση τιμή της. Όσο μικρότερη η τυπική απόκλιση μιας ΤΜ τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο δείγμα της ΤΜ θα είναι κοντά στη μέση τιμή της. Πέρα από τους ορισμούς των ποσοτήτων αυτών θα δούμε και τεχνικές που μας επιτρέπουν τον εύκολο υπολογισμό τους. Η κυριότερη είναι ότι η διασπορά του αθροίσματος ανεξαρτήτων ΤΜ είναι το άθροισμα των διασπορών τους. Αυτό μοιάζει φυσιολογικό και εύκολο αλλά έχει πολύ σημαντικές συνέπειες, η κυριότερη από τις οποίες είναι ότι η τυπική απόκλιση του αθροίσματος $N$ ανεξάρτητων και ισόνομων ΤΜ αυξάνει όπως η $\sqrt{N}$, πολύ πιο αργά από τη μέση τιμή, που αυξάνει γραμμικά με το $N$ (τουλάχιστον στην περίπτωση που οι μέσες τιμές των προσθετέων δεν είναι 0), και άρα όσο περισσότερα ανεξάρτητα κομμάτια έχει μια ΤΜ τόσο περισσότερο, μπορούμε να περιμένουμε, θα είναι συγκεντρωμένη γύρω από τη μέση τιμή της.

Διαβάστε τo Κεφ. 12 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά ", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
Επίσης τα Κεφ. 6 και 10 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 9ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 9 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 9ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 14 April 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 9ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 9 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 9 -- Λύσεις URL

10η Εβδομάδα: 8 Απρ. - 14 Απρ.

Ανισότητες απόκλισης

Η μέση τιμή μιας ΤΜ (όταν αυτή υπάρχει) θεωρείται συχνά μια "τυπική" τιμή της τυχαίας αυτής ποσότητας. Αναμένει κανείς ότι τις περισσότερες φορές, όταν διενεργείται το πείραμα που καθορίζει την τυχαία αυτή ποσότητα, η τιμή που θα δούμε δε θα είναι μακριά από τη μέση τιμή. Αυτό φυσικά ισχύει υπό περιορισμούς. Ο κυριότερος περιορισμός είναι η ΤΜ να έχει μικρή διασπορά. Αν λοιπόν μια ΤΜ $X$ έχει διασπορά $\sigma^2(X)$ μπορούμε να προβλέψουμε πόσο συχνά (με τι πιθανότητα) η $X$ θα είναι μακριά από τη μέση τιμή της; Αυτό ακριβώς κάνει η ανισότητα Chebyshev που, μαζί με την ευκολότερη ανισότητα Markov, αποτελούν τις βασικές ανισότητες απόκλισης. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ανισότητες θα αποδείξουμε το λεγόμενο νόμο των μεγάλων αριθμών που μας λέει ότι αν κάνουμε πολλές φορές ένα πείραμα και πάρουμε τις τιμές $x_1, x_2, \ldots, x_N$ της ΤΜ $X$ τότε ο μέσος όρος $(x_1+\cdots+x_N)/N$ θα είναι κοντά στη μέση τιμή $\Mean{X}$ με μεγάλη πιθανότητα. Θα δούμε επίσης την πολύ σημαντική μέθοδο Monte Carlo που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε προσεγγιστικά πολλές ποσότητες εκτελώντας επανειλημμένα ένα πείραμα.

Διαβάστε την παρ. 12.3 από το βιβλίο: Μ. Κολουντζάκης και Χρ. Παπαχριστόδουλος, "Διακριτά Μαθηματικά ", Αθήνα, 2015, Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών.Τελευταία διορθωμένη έκδοση εδώ.
Επίσης την παρ. 12.2 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 10ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 10 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 10ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 21 April 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 10ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 10 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 10 -- Λύσεις URL

11η Εβδομάδα: 15 Απρ - 21 Απρ

Κοινή κατανομή δύο ΤΜ, Ι

Όταν ένα πείραμα μας δίνει δύο ΤΜ $X$ και $Y$ δε μας ενδιαφέρει μόνο το ποια είναι η κατανομή της κάθε μιας από αυτές (ποια είναι η συνάρτηση κατανομής της, ποια η πυκνότητά της, ποια η μέση τιμή της, ποια η διασπορά της) αλλά και το ποια είναι η σχέση ανάμεσα στην τιμή της $X$ και στην τιμή της $Y$ που προκύπτουν με ένα τρέξιμο του πειράματος. Το να γνωρίζουμε π.χ. την τιμή της $X$ μας λέει κάτι διαφορετικό για την τιμή της $Y$ απ' ό,τι ξέραμε πριν; Αν όχι τότε οι δύο αυτές ΤΜ είναι ανεξάρτητες. Σε περιπτώσεις που επηρεάζει η μια την άλλη πώς την επηρεάζει; Και τι πρέπει να ξέρουμε για να γνωρίζουμε πλήρως την κατανομή (τι τιμές παίρνει και με τι πιθανότητα) του ζεύγους $(X, Y)$;

Διαβάστε το Κεφ. 9 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 11ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 11 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 11ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 28 April 2024, 11:59 PM

Οι ασκήσεις αυτές είναι για να σας βοηθήσουν να κατανοήσετε το υλικό της εβδομάδας. Δε βαθμολογείστε από αυτές.
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 11ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 11 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 11 -- Λύσεις URL

12η Εβδομάδα: 22 Απρ - 28 Απρ

Κοινή κατανομή δύο ΤΜ, ΙΙ

Συνεχίζουμε αυτή την εβδομάδα της μελέτης της συγκατανομής δύο ΤΜ, τη μελέτη με άλλα λόγια της ΤΜ $(X, Y)$ που παίρνει τιμές στο $\RR^2$ αντί για το $\RR$ όπως έχουμε συνηθίσει μέχρι τώρα. Η έμφαση αυτή την εβδομάδα είναι στις συνεχείς ΤΜ. Μαθαίνουμε επίσης μερικά πράγματα για την κανονική κατανομή που είναι ίσως η σπουδαιότερη κατανομή σε όλη τη θεωρία Πιθανοτήτων και τις εφαρμογές της. Βλέπουμε επίσης της έννοια της συνέλιξης δύο πυκνοτήτων που δεν είναι τίποτε άλλο από την πυκνότητα του αθροίσματος $X+Y$ όταν οι $X, Y$ είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν η κάθε μία τις δύο αυτές πυκνότητες που συνελλίσουμε.

Διαβάστε τa Κεφ. 9 και 10 από το βιβλίο Ι. Κοντογιάννης και Σ. Τουμπής, Στοιχεία Πιθανοτήτων με Εφαρμογές στη Στατιστική και την Πληροφορική.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 12ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 12 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 12ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 19 May 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 12ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 12 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 12 -- Λύσεις URL

13η Εβδομάδα: 13 Μαΐ - 19 Μαΐ

Δεσμευμένη μέση τιμή

Έχουμε δει μέχρι στιγμής την έννοια της δέσμευσης ενός ενδεχομένου $A$ ως προς ένα ενδεχόμενο $B$. Αυτό ισοδυναμεί με τον περιορισμό του δειγματικού μας χώρου $\Omega$ στο σύνολο $B$, όπως έχουμε δει. Με αυτό τον περιορισμό στο $B$ ορίζεται και νέες ΤΜ από τις παλιές: αν έχουμε μια TM $Χ$ ορισμένη αρχικά πάνω σε ολόκληρο το $\Omega$ παίρνουμε τώρα τη νέα ΤΜ $X \given B$ που είναι απλά ο περιορισμός της $X$ στο ενδεχόμενο $B$. Πιο σημαντική ακόμη είναι η έννοια της δέσμευσης ως προς μια ΤΜ. Παίρνουμε έτσι από δύο ΤΜ $X, Y$ μια νέα ΤΜ τη δεσμευμένη μέση τιμή της $X$ ως προς την $Y$, την οποία συμβολίζουμε με $\Mean{X \given Y}$ (αυτή είναι μια ΤΜ που είναι συνάρτηση της $Y$, όχι αριθμός εν γένει). Την εβδομάδα αυτή βλέπουμε τις διάφορες ιδιότητες της δεσμευμένης μέσης τιμής και το πώς τη χρησιμοποιούμε. Η έμφαση είναι κυρίως στη διαισθητική κατανόηση των ιδιοτήτων αυτών μια και οι πλήρεις αποδείξεις τους είναι αρκετά πιο προχωρημένο αντικείμενο, ειδικά στη συνεχή περίπτωση.

Διαβάστε για τη δεσμευμένη μέση τιμή από το κείμενο εδώ.
$quiz icon$

Quiz

Διάλεξη 13ης εβδομάδας Quiz
$url icon$

URL

Κείμενο διάλεξης Νο 13 URL
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 13ης εβδομάδας Quiz

Closed: Sunday, 26 May 2024, 11:59 PM
$quiz icon$

Quiz

Επαναληπτικές ασκήσεις 13ης εβδομάδας (αντίγραφο χωρίς βαθμολογία) Quiz
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 13 URL
$url icon$

URL

Φυλλάδιο ασκήσεων Νο 13 -- Λύσεις URL
$page icon$

Page

Δεσμευμένη μέση τιμή (μερικές ιδιότητες) Page

14η εβδομάδα (επαναλήψεις): 20 Μαϊ - 26 Μαϊ

Τρέχουσα εβδομάδα
$resource icon$

File

Πρότυπο τελικό διαγώνισμα File

Σωστές απαντήσεις:

27 May - 2 June

Τελικοί βαθμοί εδώ.