Weekly outline

  • General

    ΜΕΜ 222 -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ

    Διδάσκων: Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (γραφείο: Γ216, email: tgaref@uoc.gr)

    Εβδομαδιαίο Πρόγραμμα

    Ώρες διαλέξεων: Τρίτη 9 - 11, Πέμπτη 9 - 11 (Α201)

    Ώρες εργαστηρίου: Δευτέρα 9 - 11, 11 - 1 (Αναγνωστήριο)

    Ώρες γραφείου: Τρίτη 11 - 1, Πέμπτη 11 - 1 (Γ216)

    Προτεινόμενα Συγγράμματα

    1. Δ. Βάρσου, Δ. Δεριζιώτη, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκα, Ο. Ταλέλλη, Μία Εισαγωγή στην Άλγεβρα, εκδ. Σοφία 2005.
    2. Δ.Μ. Πουλάκη, Άλγεβρα, εκδ. Ζήτη, 2015.

    Βαθμολογικό Σύστημα

    Θα γίνει μία προαιρετική πρόοδος η οποία θα μετράει στο βαθμό σας κατά 30%. Ειδικότερα, εάν ο βαθμός της προόδου είναι Π και ο βαθμός της τελικής εξέτασης είναι Τ, ο τελικός βαθμός του μαθήματος υπολογίζεται ως

    $$ B = \max \{ 0.3 \cdot Π + 0.7 \cdot Τ, Τ\}$$

    Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 4 February - 10 February

    Κάναμε επανάληψη της συμμετρικής ομάδας. Ορίσαμε τη στήριξη (support) μίας μετάθεσης, την έννοια του κύκλου και δείξαμε ότι κάθε μετάθεση γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο ξένων κύκλων.

    Ορίσαμε και μελετήσαμε το πρόσημο μίας μετάθεσης. Ορίσαμε και μελετήσαμε τη διεδρική ομάδα.

    • 11 February - 17 February

      Αποδείξαμε το θεώρημα του Cayley: Εάν $G$ είναι ομάδα τάξης $n$, τότε είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της $\mathbb{S}_n$.

      Εάν $G$ είναι ομάδα και $S\subseteq G$, ορίσαμε την υποομάδα της $G$ η οποία παράγεται από το σύνολο $S$ ως

      $ \langle S\rangle = \bigcap H$, όπου η τομή είναι πάνω στο σύνολο όλων των υποομάδων $H$ της $G$, οι οποίες περιέχουν το $S$. Αποδείξαμε ότι

      $$\langle S\rangle = \{x_1^{\epsilon_1}\cdots x_k^{\epsilon_k}\ :\ k\in \mathbb{N},\ x_1,\ldots,x_k\in S,\epsilon_1,\ldots, \epsilon_k\in \{-1,1\}\}.$$

      Είδαμε παραδείγματα πεπερασμένα παραγόμενων ομάδων, οι οποίες δεν είναι κυκλικές.

      Δεδομένων ομάδων $(G_1, \cdot),\ldots,(G_n, \cdot)$, ορίσαμε στο καρτεσιανό γινόμενο $G=G_1\times \cdots \times G_n$ την πράξη $\cdot$ ως εξής:

      $$ (a_1,\ldots, a_n) \cdot (b_1,\ldots, b_n) = (a_1\cdot b_1, \ldots, a_n \cdot b_n).$$

      Δείξαμε ότι με την πράξη αυτή το σύνολο $G$ είμαι ομάδα (την οποία ονομάζουμε γινόμενο των $G_1,\ldots, G_n$).

      • 18 February - 24 February

        \(\)Εάν $C_1,\ldots, C_k$ είναι πεπερασμένες κυκλικές ομάδες δείξαμε ότι η ομάδα $C_1\times \cdots \times C_k$ είναι κυκλική αν και μόνο εάν $(|C_i|, |C_j|) = 1$ για κάθε $1\leq i < j \leq k$.

        Ορίσαμε την έννοια της κανονικής υποομάδας. Αποδείξαμε ισοδύναμους χαρακτηρισμούς της κανονικής υποομάδας. Δείξαμε ότι εάν η $H$ είναι υποομάδα της $G$ με δείκτη $(G:H)=2$, τότε η $H$ είναι κανονκή στη $G$. Είδαμε παραδείγματα.

        Κατασκευάσαμε την ομάδα πηλίκο $G/H$.

        • 25 February - 3 March

          \(\)Είδαμε κάποιες εφαρμογές της έννοιας της ομάδας πηλίκο. Δείξαμε ότι αν $p$ είναι πρώτος διαιρέτης της τάξης μίας αβελιανής ομάδας, τότε η ομάδα περιέχει στοιχείο τάξης $p$.

          Αποδείξαμε ότι αν $H_1, H_2$ είναι υποομάδες μία ομάδας $G$, η $H_1H_2$ είναι υποομάδα της $G$ αν και μόνο αν $H_1H_2 = H_2H_1$.

          Αποδείξαμε το 1ο και το 2ο Θεώρημα Ισομορφισμών. Είδαμε παραδείγματα. Ορίσαμε την ομάδα $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})$.

          • 4 March - 10 March

            \(\)Αποδείξαμε ότι αν $G$ είναι μία πεπερασμένη αβελιανή ομάδα τάξης $n=n_1\cdots n_k$, με $(n_i, n_j)=1$ για $i\neq j$, τότε υπάρχουν μοναδικές υποομάδες $G_1,\ldots, G_k$ με $|G_i|=n_i$ , $G_i \cap G_1\cdots G_{i-1}G_{i+1}\cdots G_k = \{1\}$, για $1\leq i\leq k$ και $G=G_1\cdots G_k$.

            • 11 March - 17 March

              \(\)Δείξαμε το θεώρημα ανάλυσης των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων σε στοιχειώδεις και σε αναλλοίωτους παράγοντες. Είδαμε παραδείγματα, ειδικά για τις ομάδες $\mathbb{Z}^{*}_n$. Ορίσαμε τον εκθέτη, $\mathrm{exp}(G)$ μίας πεπερασμένης αβελιανής ομάδας $G$ και χαρακτηρίσαμε τις πεπερασμένες κυκλικές ομάδες ως ακριβώς αυτές τις πεπερασμένες αβελιανές ομάδες για τις οποίες $\mathrm{exp}(G) = |G|$. Δείξαμε ότι κάθε πεπερασμένη υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας ενός σώματος είναι κυκλική.

              Επαναλάβαμε σύντομα βασικές έννοιες της θεωρίας δακτυλίων: δακτύλιος, υποδακτύλιος, ιδεώδες, ομομορφισμός δακτυλίων. Κατασκευάσαμε το δακτύλιο πηλίκο. Είδαμε παραδείγματα.

              • 18 March - 24 March

                \(\)Είδαμε παραδείγματα της κατασεκυής του δακτυλίου πηλίκο. Δείξαμε ότι αν $F$ είναι σώμα και $f\in F[X]$, τότε ο δακτύλιος $F[x]/\langle f\rangle$ είναι σώμα αν και μόνο αν το $f$ είναι ανάγωγο πολυώνυμο. Δείδαμε την κατασκευή των μιγαδικών αριθμών από τους πραγματικούς.

                Αποδείξαμε το 1ο Θεώρημα Ισομορφισμών και είδαμε παράδειγμα.

                Είδαμε το 2ο και το 3ο Θεώρημα Ισομορφισμών.

                Δείξαμε ότι τα ιδεώδη του $R/I$ είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία με τα ιδεώδη του $R$ τα οποία περιέχουν το $I$.

                Κατασκευάσαμε το σώμα πηλίκων μίας ακέραιας περιοχής.

                • 25 March - 31 March

                  \(\) Ορίσαμε την έννοια του πρώτου και του μεγιστικού ιδεώδους. Αποδείξαμε ότι αν $R$ είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα και $P$ είναι πρώτο (αντίστοιχα, μεγιστικό) ιδεώδες του, τότε ο δακτύλιος $R/P$ είναι ακέραια περιοχή (αντίστοιχα, σώμα). Άρα κάθε μεγιστικό ιδεώδες είναι πρώτο.

                  Ορίσαμε τη σχέση διαιρετότητας σε μία ακέραια περιοχή $R$. Ορίσαμε τα ανάγωγα και τα πρώτα στοιχεία του $R$. Δείξαμε ότι κάθε πρώτο στοιχείο είναι και ανάγωγο, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Είδαμε παραδείγματα.

                  • 1 April - 7 April

                    Λύσαμε ασκήσεις από προηγούμενα φυλλάδια ασκήσεων.

                    Δείξαμε ότι μία ακέραια περιοχή είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης αν και μόνο αν κάθε ακολουθία κυρίων ιδεωδών είναι τελικά σταθερή και κάθε ανάγωγο στοιχείο είναι πρώτο.

                    Δείξαμε ότι μία περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης.

                    • 8 April - 14 April

                      \(\)Λύσαμε τις ασκήσεις του 8ου φυλλαδίου.

                      Ορίσαμε και μελετήσαμε τις Ευκλείδιες περιοχές. Είδαμε παραδείγματα. Μελετήσαμε ιδιαίτερα το δακτύλιο ${\mathbb{Z}}[i]$, των ακεραίων του Gauss.

                      • 15 April - 21 April

                        \(\)Είδαμε το Λήμμα του Gauss. Δείξαμε ότι αν $R$ είναι μία περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος $R[x]$ είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης.

                        Αποδείξαμε το κριτήριο του Eisenstein και είδαμε παραδείγματα. 

                        • 22 April - 28 April

                          ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ

                          • 29 April - 5 May

                            ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ

                            • 6 May - 12 May

                              \(\)Ορίσαμε τον βαθμό $[K : F]$ μίας επέκτασης σωμάτων $F\subseteq K$. Ορίσαμε πότε ένα στοιχείο του σώματος $K$ είναι αλγεβρικό πάνω από το σώμα $F$ και στην συνέχεια ορίσαμε το ελάχιστο πολυώνυμο, $\mathrm{min}(F,\alpha)$ ενός τέτοιου αλγεβρικού στοιχείου $\alpha$. Προσοχή: το πολυώνυμο αυτό εξαρτάται, εκτός από το στοιχείο, και από το σώμα $F$. 

                              Δείξαμε ότι εάν το στοιχείο $\alpha$ είναι αλγεβρικό πάνω από το σώμα $F$ τότε $[F(\alpha) : F] = \mathrm{deg}\  \mathrm{min}(F,\alpha)$. Ειδικότερα, το σύνολο $\{1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}\}$ είναι μία $F$-βάση του $F(\alpha)$, όπου $n$ είναι ο βαθμός του $\mathrm{min}(F,\alpha)$.

                              Δείξαμε ότι αν $F\subseteq L\subseteq K$ είναι διαδοχικές πεπερασμένες (δηλαδή πεπερασμένου βαθμού) επεκτάσεις σωμάτων, τότε και η επέκαταση $F\subseteq K$ είναι πεπερασμένη και μάλιστα $[K : F] = [K : L] \cdot [L : F]$.

                              • 13 May - 19 May

                                \(\) Δείξαμε ότι κάθε πεπερασμένη επέκταση σωμάτων είναι αλγεβρική.

                                Δείξαμε ότι κάθε επέκαταση του σώματος $F$ της μορφής $F(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, όπου τα στοιχεία $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ είναι αλγεβρικά πάνω από το $F$, είναι πεπερασμένη και μάλιστα $$[F(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) : F] \leq [F(\alpha_1) : F] \cdots [F(\alpha_n) : F].$$

                                Δείξαμε ότι αν $[K : F]=n$ και $\alpha\in K$, τότε $\mathrm{deg}\ \mathrm{min}(F, \alpha) \mid n$.

                                Λύσαμε το 11ο φυλλάδιο ασκήσεων.

                                • 20 May - 26 May