Περιγραφή εβδομάδας

  • Γενικά

    Α14 - ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ( Μεταπτυχιακό)

             Διδάσκων:  Α. Κουβιδάκης 

     Λόγω ασθένειας του διδασκοντος το μαθημα της Τριτης 5 Μαρτιου ακυρωνεται.

    ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:  Τρίτη - Πέμπτη 11:00-13:00 (Β212).

    ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:  Κάθε δύο εβδομάδες τήν Δευτέρα  11:00-13:00 (Β212) - 1η συνάντηση την Δευτέρα 18/2.

    ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ: Απαιτείται η  πολύ καλή γνώση τής ύλης τών προπτυχιακών μαθημάτων: Άλγεβρα Ι, Άλγεβρα ΙΙ, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, Γραμμική Άλγεβρα Ι. Βοηθάει αν έχετε παρακολουθήσει ή παρακολουθείτε τό τρέχον εξάμηνο τά προπτυχιακά μαθήματα:  Μιγαδική Ανάλυση, Θεωρία Δακτυλίων, Διαφορική Γεωμετρία, Τοπολογία και τά μεταπτυχιακά μαθήματα: Άλγεβρα Ι, Εισαγωγή στις Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες.

       

    ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΒΙΒΛΙΑ:

    Igor Dolgachev: Introduction to Algebraic Geometry

    William Fulton: Algebraic Curves

    Andreas Gathmann: Algebraic Geometry

    J.S. Milne: Algebraic Geometry

    Karen Smith: Notes in Algebraic Geometry

  • 4 February - 10 February

    Εισαγωγικά . Τί μελετάει η Αλγεβρική Γεωμετρία. Σχέση  με άλλους κλάδους (Μιγαδική Γεωμετρία, Θεωρία Αριθμών κα). Αλγεβρικά σύνολα. Πότε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με μιγαδικούς συντελεστές έχει λύση (weak Nullstellensatz). Το ριζικό ενός ιδεώδους. Τό θεώρημα Nullstellensatz. Ο αφφινικός χώρος και τα αλεβρικά του υποσύνολα. Γενικά περί τοπολογικών χώρων. Η τοπολογία Ζariski στον αφφινικό χώρο και οι ιδιοτητές της. 

  • 11 February - 17 February

    Η κλειστή θήκη υποσυνόλου τού \( {\mathbb A}_k^n \)  ως προς την τοπολογία Zariski. Η αντιστοιχία αλγβερικών υποσυνόλων τού \( {\mathbb A}_{\mathbb C}^n \) με τά ριζικά ιδεώδη τού \( {\mathbb C}[x_1,...,x_n] \). Ανάγωγοι (irreducible) τοπολογικοί χώροι. Ένα αλγεβρικό σύνολο \( V \) είναι ανάγωγο αν και μόνον αν το ιδεώδες \( {\mathbb I}(V) \) είναι πρώτο. Υπό την παραπάνω αντιστοιχία, τα ανάγωγα αλγεβρικά τού  \( {\mathbb A}_{\mathbb C}^n \) αντιστοιχούν στα πρώτα ιδεώδη και τα σημεία στα μέγιστα ιδεώδη. Δακτύλιοι  Noether. Τοπολογικοί χώροι Noether. Η διάσπαση ενός χώρου Noether σε πεπερασμένη ένωση ανάγωγων κλειστών υποσυνόλων του. Κάθε αλγεβρικό σύνολο γράφεται μοναδικά ως πεπερασμένη ένωση ανάγωγων αλγεβρικών συνόλων. Η διάσταση ενός ανάγωγου τοπολογικού χώρου και, γενικότερα, ενός τοπολογικού χώρου Noether. Ορισμός και απλά παραδείγματα: \( {\rm dim} A^n_k =n \) , όπου \( k=\) άπειρο σώμα. Αν \( V \) γνήσιο αλγεβρικό υποσύνολο τού \( {\mathbb A}_k^n \) τότε \( {\rm dim} V \leq n -1 \). 

  • 18 February - 24 February

    Ο δακτύλιος συντεταγμένων αλγεβρικού συνόλου. Πολυωνυμικές συναρτήσεις. Το σώμα συναρτήσεων \( k(X) \) ενός ανάγωγου αλγεβρικού συνόλου. Regular συναρτήσεις σε ανοικτό σύνολο και ο δακτύλιος \( {\mathcal O}_X (U) \). Η ρητή συνάρτηση που ορίζεται από ένα στοιχείο τού \( k(X) \). Regular σημεία και πόλοι μιας ρητής συνάρτησης. Αν  \( k \) αλγεβρικά κλειστό τότε \( {\mathcal O}_X (U) = Α(Χ) \). Πολλαπλασιαστικό υποσύνολο \( S \) μιας ακέραιας περιοχής \( R \) και ο δακτύλιος \( S^{-1} R \). Τοπικοί δακτύλιοι. Ο τοπικός δακτύλιος \( {\mathcal O}_{X,a}  \), για \( a \in X \). Τα βασικά ανοικτά σύνολα \( D(f) \), όπου \( f \in A(X)\). Αν  \( k \) αλγεβρικά κλειστό τότε \( {\mathcal O}_X (D(f)) = Α(Χ)_f \). Εισαγωγή  στα pre-sheaves και sheaves. 

  • 25 February - 3 March

    Περαιτέρω μελέτη των sheaves. Stalk of a sheaf. Το stalk τού sheaf \( {\mathcal O}_X \) ενός αλγεβρικού συνόλου \( X \). Ringed spaces και μορφισμοί μεταξύ τους. Τα αλγεβρικά σύνολα και τα ανοικτά τους ως ringed spaces με το structure sheaf των regular  συναρτήσεων. Για \( X, Y \) αλγεβρικά συνολα, περιγράψαμε τούς μορφισμους \( \phi: U \to Y\), όπου \( U \subset X \) ανοικτό και ειδικότερα  \(\phi : X \to Y\). Οι τελευταίοι είναι σε 1-1 αντιστοιχία με τους \(k-\) άλγεβρα ομομορφισμούς \( \phi ^* : A(Y) \to A(X) \). Ισομορφισμοί αλγεβρικών συνόλων.

    • 4 March - 10 March

      Ο προβολικός χώρος \( {\mathbb P}^n_k \).  Κατασκευή. Τα ανοικτά \( U_i  \cong {\mathbb A}^n_k \) και τα επίπεδα στο άπειρο \( H_i \).  Η συμπάγεια ως προς την μετρική τοπολογία.  Ομογενή πολυώνυμα και οι θέσεις μηδενισμού τους στα σημεία τού προβολικού χώρου. Τα ομογενή ιδεώδη και τα προβολικά αλγεβρικά σύνολα. Κώνοι τού \( {\mathbb A}^{n+1}_k \). Ο κώνος \( C(X) \) που αντιστοιχεί σε ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο \( X \). Η προβολικοποίηση |/\( {\mathbb P}(X)\)  ενός κώνου  \(X  \).  Η προβολική NSS. Η τοπολογία Zariski τού προβολικού χώρου. Ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο είναι ανάγωγο αν και μόνον άν το ομογενές ιδεώδες \( {\mathbb I}_p(X)\)  είναι πρώτο. Ομογενοποίηση - αποομογενοποίηση. Η κλειστή θήκη ενός αφφινικού αλγεβρικού συνόλου θεωρούμενου ως υποσυνόλου τού \( U_0 \cong {\mathbb A}_k^n \).  

    • 11 March - 17 March

      Regular συναρτήσεις σε ανοικτά τού προβολικού χώρου και των προβολικών αλγεβρικών συνόλων. Τα προβολικά αλγεβρικά σύνολα ως ringed spaces. Η εμβύθιση \(U_i \to {\mathbb P}^n\) ώς εμβύθιση ringed spaces. Μορφισμοί  τής μορφής \( {\mathbb P}^n \backslash {\mathbb V}_p(f_1,\ldots, f_m) \to {\mathbb P}^m\), όπου \( f_1, \ldots, f_m\) ομογενή βαθμού \(d\).  Μια ρητή συνάρτηση τού \( {\mathbb A}^1\) ως μορφισμός  \( {\mathbb P}^1 \to {\mathbb P}^1\). H απεικόνιση τής προβολής. Η προβολή  περιορισμένη σε μια καμπύλη δευτέρου βαθμού. Η απεικόνιση τού Veronese \( {\mathbb P}^1 \to {\mathbb P}^d\). Τό γινόμενο \( {\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\) ως ringed space. Η απεικόνιση τού Segre \(  {\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m \to {\mathbb P}^{nm+n+m}\). 

    • 18 March - 24 March

      Η εικόνα τής απεικόνισης Segre είναι προβολικό αλγεβρικό συνολο ομοιομορφικό με το \( {\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m \). H γεωμετρία τής εικόνας τού \( {\mathbb P}^1 \times {\mathbb P}^1 \) κάτω από τήν απεικόνιση Segre. Κώνοι στο \( {\mathbb P}^n\). Προβολικοί μετασχηματισμοί. Υπερεπειφάνειες τού \( {\mathbb P}^n\). Ο χώρος παραμέτρων τών παραπάνω υπερεπειφανειών.  Quadrics στο \( {\mathbb P}^n\) και η κατάταξή τους μέχρι προβολικού μετασχηματισμού. Ο χώρος τών ιδιαζουσών quadrics στον χώρο παραμέτρων. Η απεικόνιση τού Veronese. Κάθε υπερεπειφάνεια τού \( {\mathbb P}^n\) (και γενικότερα κάθε προβολικό αλγεβρικό σύνολο) μπορεί να υλοποιηθεί ως τομή από quadrics  σε έναν μεγαλύτερης διάστασης  προβολικό χώρο.

    • 25 March - 31 March

      Γενικός ορισμός τού variety. Διαγώνιοι και γραφήματα μορφισμών. Πληρότητα. Το \({\mathbb P}^n\) και κάθε κλειστό προβολικό σύνολο είναι πλήρης variety, ενώ τό \( {\mathbb A}^n\) δεν είναι. Εφαρμογες: α) η εικόνα ενός προβολικού αλγεβρικού συνόλου κάτω από εναν μορφισμό στον προβολικό χώρο είναι προβολικό αλγεβρικό σύνολο και β) δεν υπάρχουν μή σταθερές συναρτήσεις σε ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο (σε αλγεβρικά κλειστό σώμα). Ρητές απεικονίσεις σε varieties. Dominant ρητές απεικονίσεις. Birational equivalence.Τό σώμα \(K(X) \)  των ρητών συναρτήσεων μιας variety. Οι \( X, Y\) είναι biarational equivalent αν και μόνον αν \( K(X) \simeq K(Y) \).  

    • 1 April - 7 April

      Blow up του αφινικου χώρου σε σημείο. Blow up ενός αλγεβρικού αφινικού συνόλου σε ένα σύνολο πολυωνύμων. Exceptional set και strict transform. Το blow up εξαρτάται μόνο από το ιδιεώδες που παράγουν τα πολυώνυμα. Παραδέιγματα blow ups επίπεδων καμπύλων σε σημειο και η τομή τους με το exceptional set. 

    • 8 April - 14 April

      Επανάλληψη στην έννοια τής διάστασης ενός τοπολογικού χώρου. H διάσταση ενός αφφινικού αλγεβρικού συνόλου και οι ιδιότητες της. Η διάσταση μιας variety επάγεται από την διάσταση μιας ανοικτής αφφινικής κάλυψης. Συνδιάσταση ενός αλγεβρικού υποσυνόλου. Η συνδιάσταση ενός σημείου ως η τοπική διάσταση. Η διάσταση τού exceptional set. O tangent cone ενός αλγεβρικού συνόλου \( X \) σε σημείο του - ορισμός δια μέσου τού blow up. Αλγεβρικός ορισμός τού tangent cone δια μέσου τού ιδεώδους που ορίζει τό \( Χ \).

      • 15 April - 21 April

        Ο tangent space ενός αλγεβρικού συνόλου σε σημείο του. Η σχέση τού με τον  tangent cone. Ομαλά και ιδιάζοντα σημεία. Το κριτήριο τής Ιακωβιανής. Ομαλά και ιδιάζοντα σημεία υπερεπιφανειών. Τα σημεία τομής δύο αλγεβρικών συνόλων είναι ιδιάζοντα σημεία. To σύνολο \( X_{\rm sing}\) των ιδιαζόντων σημείων τού \( Χ \) είναι αλγεβρικό και γνήσιο υποσύνολο τού X.

      • 22 April - 28 April

        • 29 April - 5 May

          • 6 May - 12 May

            Συναρτήσεις και πολυώνυμα Hilbert ομογενών ιδεωδών και προβολικών συνόλων. Το θεώρημα τού Bezout. Εφαρμογές τού Θ. Bezout.