Weekly outline

  • General

    Α11 - ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (Μεταπτυχιακό)

    Διδάσκων: Α. Κουβιδάκης

    ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: Δευτέρα 11.00-13.00, Τετάρτη 9.00-11.00 (Αίθουσα Β212)

    ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: θα καθοριστούν

    ΒΙΒΛΙΑ: FIELDS AND GALOIS THEORY by J.S. MILNE (https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html)

    ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ: Απαιτείται πολύ καλή κατανόηση τής ύλης τών προπτυχιακών μαθημάτων Άλγεβρα Ι, Άλγεβρα ΙΙ.  Βοηθάει αν έχετε παρακολουθήσει τό προπτυχιακό μάθημα τής Θεωρίας Σωμάτων.

               

  • 23 September - 29 September

    Ιστορικά στοιχεία. Σύντομη αναφορά στην Θεωρία δακτυλίων που θα χρειαστεί στο μάθημα: χαρακτηριστική ακέραιας περιοχής, πολυωνυμικός δακτύλιος, αναγωγα πολυώνυμα, τά αναγωγα τού \( {\mathbb C}[x]\), \( {\mathbb R}[x]\), κριτήρια αναγωγιμότητας για πολυώνυμα τού \( {\mathbb Q}[x]\). Επεκτάσεις σωμάτων. Βαθμός επέκτασης. Βαθμός πεπερασμένων διαδοχικών επεκτάσεων. Αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία μιας επέκτασης. Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί. Το ελάχιστο πολυώνυμο αλγεβρικού στοιχείου. Κριτήρια για το πότε ενα στοιχείο είναι αλγεβρικό σε σχέση με τον βαθμό επέκτασης. Απλές επεκτάσεις. Το σύνολο των αλγεβρικών στοιχείων μιας επέκτασης σωμάτων είναι σώμα. Κριτήρια για το πότε μια πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση είναι αλγεβρική.

  • 30 September - 6 October

    Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη  από ένα σύνολο σημείων τού επιπέδου. Κατασκευάσιμοι αριθμοί, κατασκευάσιμα σημεία. Τό σύνολο τών κατασκευάσιμων αριθμών είναι σώμα. Ο βαθμός επέκτασης \( {\mathbb Q}(a)/{\mathbb Q} \), όπου \( a \) κατασκευάσιμος αριθμός, είναι δύναμη τού 2. Τό αδύνατο γεωμετρικών κατασκευών. Κατασκευάσιμα κανονικά πολύγωνα. Αλγεβρικά κλειστά σώματα, αλγεβρική θήκη σώματος. \(F \)-ομομορφισμοί μεταξύ δύο επεκτάσεων τού σώματος \( F \). 

  • 7 October - 13 October

    Ο αριθμός τών \( F- \) ομομορφισμών από το \( F(a) \) σε μια επέκταση \( \Omega /F \). Σώματα ριζών πολυωνύμων (splitting fields).  Ο βαθμός επέκτασης ενός σώματος ριζών. Δύο σώματα ριζών ενός πολυωνύμου είναι ισόμορφα. Απλές ρίζες πολυωνύμων και ρίζες με πολλαπλότητα. Διαχωρίσιμα πολυώνυμα. Κριτήρια διαχωρισιμότητας πολυωνύμων. Διαχωρίσιμα ανάγωγα πολυώνυμα. Τέλεια σώματα (Perfect fields).  Σώματα χαρακτηριστικής μηδέν και αλγεβρικές επεκτάσεις τού \( {\mathbb Z}_p\) είναι τέλεια σώματα. Τό \( {\mathbb Z}_p(x)\) δεν είναι τέλειο σώμα.  

  • 14 October - 20 October

    Η ομάδα \( {\rm Aut}(E/F) \) τών \( F-\)αυτομορφισμών μιας επέκτασης \( E/F \). Συγκρίσεις τής τάξης τής ομάδας \({\rm Aut}(E/F) \) με τον βαθμό τής επέκτασης \( E/F\). Τό σώμα \( E^G\) τών σταθερών  στοιχείων τού \( E\) κάτω από τήν δράση μιας υποομάδας \( G\) τής ομάδας τών αυτομορφισμών τού \(E\). Τό Λήμμα τού Artin.  Αν \( G \) πεπερασμένη τότε \( G = {\rm Aut}(E/E^G)\). Διαχωρίσιμες και κανονικές επεκτάσεις. Συμπεριφορά ως προς την αλληλουχία επεκτάσεων - Βαθμός διαχωρισιμότητας μιας επέκτασης. Επεκτάσεις Galois. Χαρακτηρισμός επεκτάσεων Galois ως σώματα ριζών διαχωρίσιμων πολυωνύμων. Τό Θεμελιώδες Θεώρημα τής Θεωρίας Galois. 

  • 21 October - 27 October

    Παραδείγματα τής αντιστοιχίας Galois. Ενδιάμεσες Γαλοισ  επεκτάσεις και κανονικές υποομάδες. Η ομάδα Galois ενός διαχωρίσιμου πολυωνύμου. Επιλυσιμότητα εξισώσεων. Εξισώσεις με ομάδα Galois τήν συμμετρική ομάδα. 

    • 28 October - 3 November

      Πεπερασμένα σώματα.

    • 4 November - 10 November

      Εφαρμογές τής θεωρίας Galois. Τό \( {\mathbb C} \) είναι αλγεβρικά κλειστό. Κυκλοτομικά πολυώνυμα και κυκλοτομικές εεκτάσεις. 

      • 11 November - 17 November

        Εφαρμογες των κυκλοτομικών επεκτάσεων. Κατασκευάσιμα κανονικά πολύγωνα. Norm και Trace πεπερασμένων επεκτάσεων.

      • 18 November - 24 November

        Hilbert 90. Κυκλικες επεκτάσεις. Κατάταξη και γεωμετρική ερμηναία. Υπερβατικές επεκτάσεις. 

        • 25 November - 1 December

          • 2 December - 8 December

            • 9 December - 15 December

              • 16 December - 22 December

                • 23 December - 29 December

                  • 30 December - 5 January

                    • 6 January - 12 January

                      • 13 January - 19 January

                        • 20 January - 26 January

                          • 27 January - 2 February

                            • 3 February - 9 February

                              • 10 February - 16 February

                                • 17 February - 23 February

                                  • 24 February - 1 March

                                    • 2 March - 8 March

                                      • 9 March - 15 March

                                        • 16 March - 22 March

                                          • 23 March - 29 March

                                            • 30 March - 5 April

                                              • 6 April - 12 April

                                                • 13 April - 19 April

                                                  • 20 April - 26 April

                                                    • 27 April - 3 May

                                                      • 4 May - 10 May

                                                        • 11 May - 17 May

                                                          • 18 May - 24 May

                                                            • 25 May - 31 May

                                                              • 1 June - 7 June

                                                                • 8 June - 14 June

                                                                  • 15 June - 21 June

                                                                    • 22 June - 28 June

                                                                      • 29 June - 5 July

                                                                        • 6 July - 12 July

                                                                          • 13 July - 19 July

                                                                            • 20 July - 26 July

                                                                              • 27 July - 2 August

                                                                                • 3 August - 9 August

                                                                                  • 10 August - 16 August

                                                                                    • 17 August - 23 August

                                                                                      • 24 August - 30 August

                                                                                        • 31 August - 6 September

                                                                                          • 7 September - 13 September

                                                                                            • 14 September - 20 September