Καλησπέρα σας!!
Υπάρχουν μερικές απορίες σχετικά με την στατιστική επάρκεια, την πληροφορία Fisher και την προσέγγιση εκτίμησης των αγνώστων παραμέτρων τις οποίες και θα προσπαθήσω να αναλύσω παρακάτω.
- Αν έχω καταλάβει καλά, όταν έχουμε αποδείξει ότι μία στατιστική συνάρτηση είναι επαρκής, ουσιαστικά μελετάμε την πληροφορία που έχουμε από τις παρατηρήσεις \( \underline{x}={x_i}_{i=1}^n \) των τυχαίων μεταβλητών \( \underline{X}={Χ_i}_{i=1}^n \) περιορίζοντας την μελέτη μας σε μικρότερες διαστάσεις \(k \leq n \). Έτσι, αν βρούμε την ελάχιστη δυνατή διάσταση που μπορεί να δημιουργηθεί μία στατιστική συνάρτηση και να μην αλλοιώνει την πληροφορία που φέρουν οι παρατηρήσεις, τότε η συνάρτηση αυτή είναι ελάχιστα επαρκής. Αν, λοιπόν, σε ένα πρόβλημα έχουμε βρει μία μονοδιάστατη στατιστική συνάρτηση ότι είναι επαρκής, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι ελάχιστα επαρκής χωρίς περαιτέρω μελέτη;
- Γνωρίζουμε ότι η πληροφορία Fisher είναι ένας τρόπος μέτρησης του πλήθους πληροφορίας που φέρουν οι παρατηρήσεις \( \underline{x}={x_i}_{i=1}^n \) των τυχαίων μεταβλητών \( \underline{X}={Χ_i}_{i=1}^n \) ως προς την άγνωστη παράμετρο θ. Αυτό, όμως, που μας βοηθάει στην πράξη;
Υπάρχει κάποια ποσότητα \( c_F \in \mathbb{R} \) (η οποία εξαρτάται από την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας \(F_\underline{X} \) ), τέτοια ώστε αν η πληροφορία Fisher είναι μεγαλύτερη της ποσότητας αυτής, τότε οι παρατηρήσεις αυτές φέρουν επαρκές πλήθος πληροφορίας (ώστε τα αποτελέσματα της στατιστικής ανάλυσης να είναι σημαντικά) κι αν δεν ισχύει το ανωτέρω να πρέπει να επαναλάβουμε το πείραμα με περισσότερες ή λιγότερες παρατηρήσεις; - Επίσης, έχουμε μάθει κάποιους τρόπους εκτίμησης της άγνωστης παραμέτρου θ. Υπάρχει κάποιο κριτήριο βέλτιστης επιλογής εκτίμησης της άγνωστης παραμέτρου; Δηλαδή, σε ένα πραγματικό πρόβλημα, με ποιον γνώμονα θα προσπαθήσουμε να εκτιμήσουμε την παράμετρο θ με την εκτιμήτρια μεγίστης πιθανοφάνειας και όχι με κάποιον άλλον τρόπο;
Με συγχωρείτε για τυχών λάθη που υπάρχουν. Σας ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας!!