Weekly outline

  • ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

     ΑΛΓΕΒΡΑ  Ι,        Μεταπτυχιακό μάθημα. Το περιεχόμενο είναι ΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ.

     Οι ιστορικές ρίζες του κλάδου είναι τρεις:

    1. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ,

    2. Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και

    3. Η ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΩΝ.

     ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ:

    1. ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΦΥΛΛΑΔΙΩΝ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, ΠΟΣΟΣΤΟ 40%

    2 .ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΙΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ, ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ 2 ΜΕ 3 ΩΡΕΣ, ΠΟΣΟΣΤΟ 20%

    3. ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ 3 ΩΡΩΝ, ΠΟΣΟΣΤΟ 40%

  • 26 September - 2 October

     Προκειμένου να ομογεννοποιηθεί το Τμήμα, αποφάσισα να διαθέσω τις πρώτες δύο εβδομάδες  και να καλύψω το μέρος εκείνο της ύλης  του αντίστοιχου προπτυχιακού μαθήματος το οποίο είναι απαραίτητο για την κατανόηση τησ ύλης του μεταπτυχιακού.

     Έτσι κατά την πρώτη εβδομάδα διδάχθηκαν:

     Δακτύλιοι, ακέραιες περιοχές, σώματα. Ομομορφισμοί δακτυλίων, υποδακτύλιοι, ιδεώδη. Πράξεις στα ιδεώδη, διαιρετότητα στοιχείων στα ιδεώδη, ανάγωγα και πρώτα στοιχεία. Περιοχές κυρίων ιδεωδών, περιοχές ανάλυσης και μονοσήμαντης ανάλυσης. Αντιπαραδείγματα δακτυλίων οι οποίοι

    δεν είναο Π.Μ.Α. Το Θεώρημα υπολοίπων του Κινέζου για ιδεώδη και το Θεώρημα χαρακτηρισμού των δακτυλίων της Noether.

    ( Το Θεώρημα Βάσης του  HILBERT,  θα δοθεί ως διάλεξη από κάποιο φοιτητή.)

     (Θα προσθέσω και το  αντίστοιχο φυλλάδιο ασκήσεων.)

     

     

  • 3 October - 9 October

     Συνέπειες του Θεωρήματος της Noether σε ειδικούς δακτυλίους. Η επιμορφική είκονα δακτυλίου της  Noether είναι δακτύλοις της Noether.  Υποδακτύλιος δακτυλίου της Noether, ΔΕΝ είναι πάντοτε δακτύλιος της Noether. Διαιρετότητα ιδεωδών, πρώτα και maximal ιδεώδη και τα Θεωρήματα που τα χαρακτηρίζουν. Τα Θεωρήματα ισομορφίας. Πρώτα ιδεώδη των δακτυλίων Ζ και Κ[Χ]. 

     ( Τα πρώτα ιδεώδη του Ζ{Χ], θα αποδειχθούν σε διάλεξη φοιτητή.)

     ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

    1 . Ριζικό ιδεώδους

       Rad(A) ιδεώδες του R. Rad(Rad(A))=Rad(A), Αν P πρώτο, τότε Rad(P)=P και φυσικά το ίδιο και για τα maximal. Ορισμός ριζικού ιδεώδους και παραδείγματα.

  • 10 October - 16 October

     Σε κάθε δακτύλιο  R, ( εννοείται όπως στο μάθημα), το Spec(R)  είνια διάφορο του κενού. Κάθε, γνήσιο ιδεώδες του R  περιέχεται σε κάποιο maximal ιδεώδες αυτού. Αν Α ιδεώδες του R και  S πολλαπλασιαστικά κλειστό υποσύνολο του R  με τομή των Α και S  το κενό, τότε το σύνολο των ιδεωδών του R  που περιέχουν το Α και είναι ξένα προς το S, περιέχει ένα (τουλάχιστο) maximal ιδεώδες , το οποίο είναι πρώτο ιδεώδες του R.

       Το ριζικό ιδεώδες Rad(A) είναι ίσο προς την τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του R που περιέχουν το Α. Το ριζικό του Jacobson και ο χαρακτηρισμός  των στοιχείων αυτού.  από την ιδιότητα ότι το 1-χψ είναι μονάδα του R  για όλα τα στοιχεία ψ του R.

      Το Θεώρημα αποφυγής πρώτων ιδεωδών, επέκταση και συστολή ιδεωδών, πηλίκο ιδεωδών, τοπικοί δακτύλιοι.

     2. MODULES

     Ορισμός και παραδείγματα. Υπο-modules.

  • 17 October - 23 October

     Πεπερασμένα παραγόμενα  modules (ορισμός), ομομορφισμοί και θεωρήματα ισομορφίας., Ευθέα αθροίσματα από R-modules. ελεύθερα  R-modules, Ομοιότητες και διαφορές με τους διανυσματικούς χώρους. Πεπερασμένα παραγόμενα  R-modules,χαρακτηρισμός.

     Σημείωση. Το μάθημα της Τετάρτης αναβλήθηκε και θα αναπληρωθεί   προσεχώς.

  • 24 October - 30 October

       Ευθέα αθροίσματα από R-modules,Ελεύθερα R-modules. Ομοιότητες και διαφορές με Προτάσεις που ισχύουν για  Κ-δ.χ.. Πεπερασμένα παραγόμενα R- modules.   και χαρακτηρισμός τους. Ο μηδενιστής . Λήμμα του Nakayama καθώς και το γενικευμένο λήμμα του Nakayama. Πεπερασμένα παραγόμενα 

    R-modules  ,όταν ο R είναι τοπικός δακτύλιος.

    3 ΤΟΠΙΚΟΠΟΙΗΣΗ

     Ορισμός, παραδείγματα  και βασικές ιδιότητες. Κάθε ομομορφισμός δακτυλίων παραγοντοποιείται μέσω της τοπικοποίησης. Χαρακτηρισμός της τοπικοποίησης, κατά προσέγγιση ισομορφίας

  • 31 October - 6 November

      Παραδείγματα τοπικοποίησης , Τοπικοποίηση στα R-modules. Η ακρίβεια σε ένα σημείο από μία ακολουθία R-modules συνεπάγεται  την ακρίβεια των αντίστοιχων τοπικοποιήσεων στη αντίστοιχο τοπικό R-module. Η έννοια του  του μηδενικού module είναι τοπική.  Το ίδιο ισχύει τόσο για το την ιδιότητα τηs απεικόνισης 1-1 ομομορφισμών από modules, όσο και στο επί. 

     Επέκταση και συστολή ιδεωδών  από τον R στον S^-1R.  Μορφή των ιδεωδών Α^e.  των  Α^ec,  κάθε ιδεώδες του S^{-1}R ενίαι επέκταση ενός ιδεώδους

    του R κ.λ.π.

  • 7 November - 13 November

  • 14 November - 20 November

  • 21 November - 27 November

  • 28 November - 4 December

  • 5 December - 11 December

    This week
  • 12 December - 18 December

  • 19 December - 25 December

  • 26 December - 1 January

  • 2 January - 8 January

  • 9 January - 15 January

  • 16 January - 22 January

  • 23 January - 29 January

  • 30 January - 5 February

  • 6 February - 12 February

  • 13 February - 19 February

  • 20 February - 26 February

  • 27 February - 5 March

  • 6 March - 12 March

  • 13 March - 19 March

  • 20 March - 26 March

  • 27 March - 2 April

  • 3 April - 9 April

  • 10 April - 16 April

  • 17 April - 23 April

  • 24 April - 30 April

  • 1 May - 7 May

  • 8 May - 14 May

  • 15 May - 21 May

  • 22 May - 28 May

  • 29 May - 4 June

  • 5 June - 11 June

  • 12 June - 18 June

  • 19 June - 25 June

  • 26 June - 2 July

  • 3 July - 9 July

  • 10 July - 16 July

  • 17 July - 23 July

  • 24 July - 30 July

  • 31 July - 6 August

  • 7 August - 13 August

  • 14 August - 20 August

  • 21 August - 27 August

  • 28 August - 3 September

  • 4 September - 10 September

  • 11 September - 17 September

  • 18 September - 24 September