Weekly outline

  • Θεωρία Αριθμών

    Διδάσκων: Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (Γραφείο: Γ216)

    Ώρες διαλέξεων:  Δευτέρα και Τετάρτη 13:00 - 15:00 (Α203)

    Ώρες γραφείου: Δευτέρα 11:00 - 13:00

    Βαθμολογικό σύστημα: Θα υπάρχει μία τελική εξέταση, ο βαθμός της οποίας θα είναι ο τελικός βαθμός του μαθήματος.

    Την Τετάρτη 23 Μαΐου, 14:00-15:00, θα είμαι στο Αμφ. 203 για να συζητήσουμε όποιες απορίες έχετε εν όψει της τελικής εξέτασης.

  • 5 February - 11 February

    Ορίσαμε τη σχέση διαιρετότητας και δείξαμε βασικές ιδιότητες. Ορίσαμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων, δείξαμε ότι υπάρχεί (εφόσον ένας τουλάχιστον από τους δύο αριθμούς δεν είναι μηδέν), δείξαμε βασικές ιδιότητες. Ορίσαμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών και δείξαμε βασικές ιδιότητες. Ορίσαμε την έννοια του πρώτου αριθμού και δείξαμε ότι κάθε ακέραιος διαφορετικός από τους 0, +1, -1, διαιρείται από κάποιο πρώτο. Δείξαμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι.

    • 12 February - 18 February

      Αποδείξαμε το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Δεδομένης της κανονικής ανάλυσης δύο αριθμών δε πρώτους παράγοντες βρήκαμε την κανονική ανάλυση του μέγιστου κοινού διαιρέτη και του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου τους.

      Ορίσαμε τις έννοιες της αριθμητικής και της πολλαπλασιαστικής συνάρτησης. Είδαμε τις συναρτήσεις φ του Euler και μ του Moebius και τις βασικές τους ιδιότητες.

      • 19 February - 25 February

        Ορίσαμε το γινόμενο Dirichlet (λέγεται και συνέλιξη) αριθμητικών συναρτήσεων και αποδείξαμε βασικές ιδιότητες.

        Αποδείξαμε τον τύπο αντιστροφής του Moebius.

        Δείξαμε ότι αν δύο αριθμητικές συναρτήσεις \(f,g\) είναι πολλαπλασιαστικές, τότε και το γινόμενο Dirichlet \(f * g\) είναι επίσης πολλαπλασιαστική συνάρτηση.

        Αποδείξαμε διάφορες ιδιότητες της συνάρτησης φ του Euler.

        • 26 February - 4 March

          Λύσαμε τις ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου.

          Ορίσαμε τη σχέση ισοτιμίας modulo κάποιο φυσικό αριθμό (από εδώ και στο εξής θα αναφέρομαι σε αυτή ως "σχέση ισοτιμίας mod m"). Δείξαμε ότι είναι σχέση ισοδυναμίας και μελετήσαμε τις κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζει η σχέση.

          Δείξαμε κάποιες βασικές ιδιότητες της σχέσης ισοτιμίας mod m.

          • 5 March - 11 March

            Ορίσαμε τα πλήρη και περιορισμένα σύνολα υπολοίπων.

            Αποδείξαμε ότι κάθε ακέραιος \(a\) πρώτος προς τον \(m\) είναι αντιστρέψιμος \(\mathrm{mod} m\), δηλαδή υπάρχει ακέραιος \(b\) τέτοιος ώστε \(ab \equiv 1 \pmod{m}\).

            Αποδείξαμε ότι για κάθε ακέραιο \(a\) που είναι πρώτος προς τον \(m\) υπάρχει θετικός ακέραιος \(k\) τέτοιος ώστε \(a^k \equiv 1\pmod{m}\). Ο μικρότερος τέτοιος θετικός ακέραιος ονομάζεται τάξη του \(a\) modulo \(m\) και τον συμβολίζουμε \(\mathrm{ord}_m(a)\).

            Αποδείξαμε το Θεώρημα του Euler, το μικρό Θεώρημα του Fermat και το Θεώρημα του Wilson.

            Ως εφαρμογή των παραπάνω είδαμε το τεστ του Fermat για πρώτους αριθμούς και τη μέθοδο κρυπτογράφησης RSA.

            • 12 March - 18 March

              Λύσαμε το 2ο φυλλάδιο ασκήσεων.

              Μελετήσαμε γραμμικές ισοτιμές \( \mbox{mod } n\). Είδαμε πόσες διακεκριμένες, modulo \(n\), λύσεις έχει μία γραμμική ισοτιμία και πώς μπορούμε να τις υπολογίζουμε.

              • 19 March - 25 March

                Λύσαμε το 3ο φυλλάδιο ασκήσεων.

                Είδαμε το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.

                • 26 March - 1 April

                  Δώσαμε εναλλακτική απόδειξη της πολλαπλασιαστικότητας της συνάρτησης φ του Euler χρησιμοποιώντας το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.

                  Είδαμε τις λύσεις των φυλλαδίων 4 και 5.

                  • 2 April - 8 April

                    ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ

                    • 9 April - 15 April

                      ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ

                      • 16 April - 22 April

                        Μελετήσαμε τετραγωνικές ισοτιμίες modulo κάποιο πρώτο αριθμό. Ορίσαμε το σύμβολο του Legendre. Αποδείξαμε το κριτήριο του Euler. Αποδείξαμε βασικές ιδιότητες που ικανοποιεί το σύμβολο του Legenrdre. Αποδείξαμε το νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής του Gauss.

                        • 23 April - 29 April

                          Είδαμε κάποιες εφαρμογές όσων είδαμε μέχρι τώρα για τετραγωνικές ισοτιμίες. Ειδικώτερα, δείξαμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής \(4n+1\) και ότι ένας περιττός πρώτος \(p\) γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων αν και μόνο αν \(p\equiv 1 \pmod{4}\).

                          Ορίσαμε την έννοια της πρωταρχικής ρίζας modulo \(n\). Ένας ακέραιος \(a\), πρώτος προς το \(n\), ονομάζεται πρωταρχική ρίζα modulo \(n\), αν \(\mathrm{ord}_n(a) = \phi(n)\).

                          Δείξαμε ότι αν ένας ακέραιος \(n\) δεν είναι της μορφής \(1, 2, 4, p^e, 2p^e\), όπου \(p\) είναι περιττός πρώτος και \(e\geq 1\) τότε δεν υπάρχουν πρωταρχικές ρίζες modulo \(n\).

                          • 30 April - 6 May

                            Αποδείξαμε ότι για κάθε πρώτο αριθμό \(p\) υπάρχουν ακριβώς \(\phi(p)=p-1\) πρωταρχικές ρίζες modulo \(p\).

                            Αποδείξαμε ότι κάθε αριθμός της μορφής \(2, 4, p^e, 2p^e\), όπου \(p\) είναι περιττός πρώτος και \(e\geq 1\) έχει πρωταρχικές ρίζες.

                            • 7 May - 13 May

                              Λύσαμε τό 6ο φυλλάδιο ασκήσεων.

                              Λύσαμε το 7ο φυλλάδιο ασκήσεων.

                              • 14 May - 20 May

                                Κάναμε κάποιες επαναληπτικές ασκήσεις.

                                • 21 May - 27 May