Καλησπερα. Μπορειτε να εξηγησετε τον λογο που στην 5η ασκ. Της προοδου η σωστη απαντηση ειναι το α)
Οι ομάδες Α και Β είναι δύο ξένα υποσύνολα του 1...n κι έχουμε δει ότι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να τα φτιάξουμε αυτά είναι \(3^n\). Πρέπει όμως να εξαιρέσουμε τα ζεύγη Α, Β όπου κάποιο από τα δύο (ή και τα δύο) είναι το κενό σύνολο. Αν πούμε ότι το A είναι κενό τότε το Β μπορεί να είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του 1...n και άρα υπάρχουν \(2^n\) επιλογές για το Β. Ομοίως αν πούμε ότι το Β είναι κενό τότε υπάρχουν \(2^n\) επιλογές για το A. Πρέπει λοιπόν από το \(3^n\) να αφαιρέσουμε \(2 \cdot 2^n = 2^{n+1}\). Τώρα όμως έχουμε αφαιρέσει την επιλογή \(A=\emptyset, B=\emptyset\) δύο φορές και άρα πρέπει να διορθώσουμε προσθέτοντας 1.