Ζητώ συγγνώμη από τα παιδιά που είχαν έρθει στο σημερινό μάθημα αφού άφησα χωρίς εξήγηση μία τελευταία σχέση. Αυτό που θέλουμε να δείξουμε στο Πόρισμα \(20.1.7\) είναι ότι ο \(2p^k\), όπου \(p\) περιττός πρώτος και \(k\) φυσικός, έχει πρωταρχικές ρίζες. Επαναλαμβάνω στα γρήγορα το επιχείρημα.
Έστω \(r\) πρωταρχική ρίζα του \(p^k\). Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο \(r\) είναι περιττός και άρα \(\gcd(r, 2p^k) = 1\). Η τάξη \(n\) του \(r\) ως προς το μέτρο \(2p^k\) διαιρεί τον \(\phi(2p^k) = \phi(2) \phi(p^k) = \phi(p^k)\). Όμως η σχέση \(r^n \equiv 1 \bmod{2p^k}\) συνεπάγεται την \(r^n \equiv 1 \bmod{p^k}\) και άρα \(\phi(p^k) \mid n\). Από τις δύο αυτές σχέσεις διαιρετότητας προκύπτει η \(n = \phi(2p^k)\), που καθιστά τον \(r\) πρωταρχική ρίζα του \(2p^k\).
Αυτό που δεν σας εξήγησα είναι πώς προκύπτει η \(\phi(p^k) \mid n\) από την \(r^n \equiv 1 \bmod{p^k}\). Όμως ο \(r\) είναι εξ ορισμού πρωταρχική ρίζα του \(p^k\) και άρα η τάξη του ως προς το μέτρο \(p^k\) είναι ίση με \(\phi(p^k)\). Εφόσον \(r^n \equiv 1 \bmod{p^k}\), προκύπτει από βασική ιδιότητα της τάξης ότι \(\mathrm{ord}_{p^k}(r) = \phi(p^k) \mid n\) 🙄