Weekly outline

  • General

  • 16 February - 22 February

    Στο \(1\)ο μάθημα κάναμε μια σύντομη εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών. Είδαμε την Αρχή του Ελαχίστου και πώς με αυτήν ως αξίωμα μπορούμε να αποδείξουμε την Αρχή της Επαγωγής (\(1\)η Μορφή και \(2\)η Μορφή). Είδαμε ακόμα μερικά παραδείγματα και στο τέλος δόθηκαν μερικές ασκήσεις για επίλυση. 

    Το βίντεο του μαθήματος: 

    .

    Στο \(2\)ο μάθημα αναφερθήκαμε στον Αλγόριθμο της Διαίρεσης και στην έννοια της διαιρετότητας. Μιλήσαμε ακόμα για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη ενός ακεραίου και αποδείξαμε βασικές ιδιότητες που ικανοποιεί και μερικά θεμελιώδη θεωρήματα. Εξ αυτών το κεντρικότερο είναι το Θεώρημα \(2.2.5\), σύμφωνα με το οποίο ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός τους. Είδαμε επίσης πότε δύο ακέραιοι καλούνται σχετικά πρώτοι και αποδείξαμε το Λήμμα του Ευκλείδη (Θεώρημα \(2.2.11\)). Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις για λύση. 

    Το βίντεο του μαθήματος: 

    .


    • 23 February - 1 March

      Στο \(3\)ο μάθημα αναφερθήκαμε στον Ευκλείδειο Αλγόριθμο και στην έννοια του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου που είναι εφάμιλλη με αυτήν του μέγιστου κοινού διαιρέτη. Είδαμε ακόμα παραδείγματα και εφαρμογές του Ευκλείδειου Αλγορίθμου. Δείξαμε ακόμα το βασικό Θεώρημα \(3.2.2\). Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις. 

      Το βίντεο του μαθήματος:

      Στο \(4\)ο μάθημα κάναμε μια εισαγωγή στους πρώτους αριθμούς και είδαμε μερικά βασικά αποτελέσματα όπως το ότι όταν ένας πρώτος διαιρεί το γινόμενο κάποιων αριθμών, τότε διαιρεί τουλάχιστον έναν από αυτούς (Θεώρημα \(4.1.2\) και Πόρισμα \(4.1.3\) ). Μιλήσαμε ακόμα για το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, το σπουδαιότερο θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών. Μιλήσαμε ακόμα για την κανονική μορφή ενός φυσικού και πώς με αυτήν βρίσκουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο φυσικών. Στο τέλος δόθηκαν ασκήσεις για λύση. 

      Το βίντεο του μαθήματος:


      • 2 March - 8 March

        Στο \(5\)ο μάθημα αναφερθήκαμε στο Κόσκινο του Ερατοσθένη και είδαμε δύο διαφορετικές αποδείξεις της απειρίας των πρώτων αριθμών (Θεώρημα \(5.2.1\)). Δείξαμε ακόμα ότι για κάθε φυσικό αριθμό \(n\) μπορούμε να βρούμε \(n\) διαδοχικούς φυσικούς και άρα η ακολουθία των διαδοχικών διαφορών μεταξύ πρώτων δεν είναι φραγμένη (Θεώρημα \(5.2.2\)). Στο τέλος δόθηκαν ασκήσεις για λύση. Προσέξτε ότι μετά την τελευταία άσκηση, όπου σας ζητώ να δείξετε τον τύπο του Legendre, υπάρχει μία σημείωση, ένα παράδειγμα, μία εφαρμογή και ένα πόρισμα. Αυτά έχουν ενσωματωθεί στο κείμενο ώστε να ενισχύσω την κατανόηση αυτού του αποτελέσματος. Θα ήθελα να τα δείτε αυτά. 

        Το βίντεο του μαθήματος:

        Το \(6\)ο μάθημα ήταν εξ ολοκλήρου αφιερωμένο στο λεγόμενο Αίτημα του Bertrand και στην φίνα απόδειξη που έδωσε ο Erdos όταν ήταν πιτσιρικάς. Η απόδειξη, όπως εξήγησα στο βίντεο και όπως εξηγώ και μέσα στις σημειώσεις, είναι "εκτός ύλης". Σας προτείνω όμως (ανεπιφύλακτα) να αφιερώσετε τον χρόνο που χρειάζεται για να την καταλάβετε. Είναι μία από τις καλύτερες στοιχειώδεις αποδείξεις των Μαθηματικών και θα σας ωφελήσει να της αφιερώσετε χρόνο. Σε κάθε περίπτωση, το ίδιο το αποτέλεσμα (Θεώρημα \(6.1.1\)) θα πρέπει να το γνωρίζετε. Μιλήσαμε ακόμα για πλήρεις ακολουθίες και είδαμε το Κριτήριο του Brown. Αποδείξαμε επίσης ως εφαρμογή του Αιτήματος ότι η ακολουθία των πρώτων αριθμών είναι πλήρης και άρα κάθε φυσικός γράφεται ως άθροισμα διακεκριμένων πρώτων συν την μονάδα. Οι ασκήσεις που υπάρχουν στο τέλος αφορούν όλες στο Αίτημα του Bertrand. 

        Το βίντεο του μαθήματος:


        • 9 March - 15 March

          Το \(7\)ο μάθημα ήταν το τέταρτο κατά σειρά και τελευταίο που ήταν αφιερωμένο αποκλειστικά στους πρώτους. Τα δύο κεντρικά αποτελέσματα στα οποία αναφερθήκαμε ήταν το λεγόμενο «Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών» και το Θεώρημα του Dirichlet για πρώτους σε αριθμητικές προόδους. Και τα δύο παρουσιάστηκαν χωρίς αποδείξεις. Είδαμε ακόμα μερικές από τις διαχρονικότερες εικασίες που έχουν διατυπωθεί για πρώτους και κάμποσο ιστορικό υλικό. Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις.

          Το βίντεο του μαθήματος:


          Στο \(8\)ο μάθημα επανήλθαμε σε μια μεγαλύτερη κανονικότητα κάνοντας μια πρώτη εισαγωγή στις Ισοτιμίες και την Αριθμητική τους. Το κεντρικό Θεώρημα εδώ είναι το \(8.1.3\) που περιγράφει τον λογισμό των ισοτιμιών ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, ενώ ιδιαίτερη αναφορά κάναμε και στο πώς και πότε μπορούμε να διαιρούμε ισοτιμίες (Θεώρημα \(8.1.6\) και Πορίσματα που ακολουθούν). Στο τέλος δόθηκαν μερικές ασκήσεις προς λύση.

          Το βίντεο του μαθήματος:


          • 16 March - 22 March

            Στο \(9\)ο μάθημα συνεχίσαμε με την θεωρία των ισοτιμιών. Είδαμε την έννοια της γραμμικής ισοτιμίας, αναφερθήκαμε στην γραμμική ∆ιοφαντική εξίσωση με δύο αγνώστους την οποία και λύσαμε πλήρως (Θεώρημα \(9.2.1\)) και στο τέλος χρησιμοποιήσαμε όσα είχαμε δείξει για να λύσουμε πλήρως την γραμμική ισοτιμία με έναν άγνωστο (Θεώρημα \(9.3.1\)). Στο τέλος δόθηκαν ασκήσεις προς λύση.

            Το βίντεο του μαθήματος:

            Στο \(10\)ο μάθημα συνεχίσαμε να μιλάμε για ισοτιμίες. Συγκεκριμένα, είδαμε το λεγόμενο Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων (Θεώρημα \(10.1.1\)) που μας παρέχει μία μέθοδο να λύνουμε συστήματα γραμμικών ισοτιμιών των οποίων τα μέτρα είναι ανά δύο σχετικά πρώτα. Είδαμε ακόμα μερικά παραδείγματα και το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις.

            Το βίντεο του μαθήματος:




            • 23 March - 29 March

              Στο \(11\)ο μάθημα αναφερθήκαμε στο επώνυμο (μικρό) Θεώρημα του Fermat (Θεώρημα \(11.1.1\) και Πόρισμα \(11.1.2\)). Μιλήσαμε ακόμα για μία κατηγορία αριθμών οι οποίοι ικανοποιούν (μερικώς) το αντίστροφο του Θεωρήματος του Fermat, οι λεγόμενοι ψευδοπρώτοι και οι αριθμοί Carmichael (απόλυτοι ψευδοπρώτοι). Είδαμε μερικά παραδείγματα τέτοιων αριθμών και δείξαμε μερικές βασικές ιδιότητές τους. Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις.

              Το βίντεο του μαθήματος:


              Στο \(12\)ο μάθημα μιλήσαμε για το Θεώρημα του Wilson (Θεωρήματα \(12.1.1\) και \(12.1.2\)), το οποίο αποτελεί και αυτό μέρος ενός τρίπτυχου θεωρημάτων τα οποία θεωρούνται ορόσημα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών. Ως εφαρμογές του θεωρήματος παρουσιάσαμε έναν "τύπο" για την συνάρτηση μέτρησης πρώτων και δείξαμε ότι η τετραγωνική ισοτιμία \(x^2+ 1 \equiv 0   \bmod{p}\), όπου \(p\) είναι ένας περιττός πρώτος, έχει λύση, αν και μόνο αν \(p \equiv 1 \bmod{4}\). Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις.

              Το βίντεο του μαθήματος:


              • 30 March - 5 April

                Στο \(13\)ο μάθημα κάναμε μία πρώτη εισαγωγή στις αριθμητικές συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, μιλήσαμε για τις συναρτήσεις σ και τ, τις καλούμενες αντίστοιχα «άθροισμα θετικών διαιρετών» και «πλήθος θετικών διαιρετών». Δώσαμε τους τύπους υπολογισμού τους (Θεώρημα \(13.1.3\)) και είδαμε διάφορα παραδείγματα και εφαρμογές. Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις.

                Το βίντεο του μαθήματος:


                Στο \(14\)ο μάθημα συνεχίσαμε την μελέτη των αριθμητικών συναρτήσεων. Η κεντρική έννοια στην οποία αναφερθήκαμε είναι αυτή της πολλαπλασιαστικής συνάρτησης. Μιλήσαμε ακόμα για πλήρως πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις και για την "δυϊκή" έννοια της προσθετικής συνάρτησης και της πλήρως προσθετικής συνάρτησης. Το κεντρικό θεώρημα που αποδείξαμε ήταν το Θεώρημα \(14.1.3\) σύμφωνα με το οποίο η προσθετική συνάρτηση μίας πολλαπλασιαστικής συνάρτησης είναι και αυτή πολλαπλασιαστική. Ως πόρισμα αυτού του αποτελέσματος πήραμε ότι οι συναρτήσεις τ και σ του προηγούμενου μαθήματος είναι πολλαπλασιαστικές. Είδαμε δύο εφαρμογές και στο τέλος δόθηκαν ασκήσεις για λύση.

                Το βίντεο του μαθήματος:



                • 6 April - 12 April

                  Στο \(15\)ο μάθημα μιλήσαμε για μία ξεχωριστή πολλαπλασιαστική συνάρτηση, την συνάρτηση \(\mu\) του Möbius. Δείξαμε στο Θεώρημα \(15.1.2\) ότι η \(\mu\) είναι πολλαπλασιαστική και στο Θεώρημα \(15.1.3\) προσδιορίσαμε τον τύπο της αθροιστικής συνάρτησης της \(\mu\). Στην επόμενη παράγραφο αποδείξαμε το κεντρικό Θεώρημα \(15.2.1\), δηλαδή τον τύπο αντιστροφής του Möbius. Το αποτέλεσμα αυτό προσδιορίζει τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να περνάμε από μία αριθμητική συνάρτηση \(f\) στην αθροιστική της \(F\) και αντίστροφα μέσω της συνάρτησης \(\mu\). Δείξαμε ακόμα στο Θεώρημα \(15.2.3\) ότι αν η αθροιστική συνάρτηση μιας αριθμητικής συνάρτησης είναι πολλαπλασιαστική, τότε και η ίδια η αριθμητική συνάρτηση είναι πολλαπλασιαστική. Είδαμε επίσης μία εφαρμογή και κλείσαμε το θεωρητικό κομμάτι αναφέροντας δύο λόγια για την συνάρτηση \(M\) του Mertens. (Η τελευταία αυτή παράγραφος έχει καθαρά ιστορικό χαρακτήρα και γι' αυτό είναι εκτός ύλης.) Το μάθημα έκλεισε με ασκήσεις.

                  Το βίντεο του μαθήματος:


                  Στο \(16\)ο μάθημα εισαγάγαμε και μελετήσαμε την αριθμητική συνάρτηση \(\phi\) του Euler, η οποία μετρά το πλήθος των φυσικών που είναι μικρότεροι ή ίσοι δοθέντος φυσικού και σχετικά πρώτοι με αυτόν. Το μάθημα ξεκίνησε με μία πρώτη ενότητα στην οποία δόθηκαν διάφορα ιστορικά στοιχεία σε σχέση με τον Μαθηματικό Leonhard Euler, την ζωή και το έργο του. Ως συνήθως, την ενότητα αυτή μπορείτε να την διαβάσετε ή οχι, όπως κρίνετε. Δεν θεωρείται “εντός ύλης”. Για την συνάρτηση \(\phi\) τώρα, το κεντρικό αποτέλεσμα που δείξαμε ήταν το Θεώρημα \(16.2.4\), σύμφωνα με το οποίο η \(\phi\) είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση. Με βάση αυτό το αποτέλεσμα και το γεγονός ότι οι πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις καθορίζονται πλήρως από την συμπεριφορά τους σε δυνάμεις πρώτων, βρήκαμε, χάριν του Θεωρήματος \(16.2.2\), τύπο για τον \(\phi(n)\), δοθείσης της κανονικής μορφής του \(n\) (Πόρισμα \(16.2.5\)). Δείξαμε ακόμα (Θεώρημα \(16.2.7\)) ότι ο \(\phi(n)\) είναι άρτιος για κάθε φυσικό \(n>2\) και την ταυτότητα του Gauss σύμφωνα με την οποία η αθροιστική συνάρτηση της \(\phi\) είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Είδαμε δύο εφαρμογές ακόμα και το μάθημα έκλεισε με κάμποσες ασκήσεις.

                  Το βίντεο του μαθήματος:



                  • 4 May - 10 May

                    Στο \(17\)ο μάθημα μιλήσαμε για το Θεώρημα του Euler, το τρίτο και τελευταίο του τρίπτυχου κανονικών θεωρημάτων της Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, μαζί με το Θεώρημα του Fermat και το Θεώρημα του Wilson. Το Θεώρημα του Euler (Θεώρημα \(17.1.2\)) γενικεύει αυτό του Fermat. Είδαμε ως εφαρμογή του Θεωρήματος του Euler ότι κάθε αριθμητική πρόοδος της οποίας οι όροι είναι όλοι ακέραιοι περιέχει μία άπειρη γεωμετρική πρόοδο (Εφαρμογή \(17.1.5\)). Ακόμα, διατυπώσαμε και αποδείξαμε το Θεώρημα του Rédei (Θεώρημα \(17.1.6\)) το οποίο αποτελεί “γενίκευση” του Θεωρήματος του Euler. Κλείσαμε το θεωρητικό κομμάτι του μαθήματος διευκρινίζοντας την χρησιμότητα του Θεωρήματος του Euler σε ό,τι έχει σχέση με την εύρεση πολλαπλασιαστικών αντιστρόφων και την επίλυση (κάποιων) γραμμικών ισοτιμιών. Και στο μάθημα αυτό δόθηκαν αρκετές ασκήσεις για λύση.

                    Το βίντεο του μαθήματος:


                    Στο \(18\)ο μάθημα ορίσαμε την τάξη ενός ακεραίου \(a\) ως προς κάποιο μέτρο \(n\), όπου \(a\) και \(n\) είναι σχετικά πρώτοι, ως τον ελάχιστο φυσικό \(k\) που είναι τέτοιος ώστε \(a^k \equiv 1 \bmod{n}\). Προσέξτε εδώ ότι η τάξη ορίζεται μόνο στην περίπτωση που \(\gcd(a, n) = 1\). Βασική ιδιότητα της τάξης περιγράφεται στο Θεώρημα \(18.1.2\) σύμφωνα με το οποίο, αν ο \(a\) έχει τάξη \(k\) ως προς το μέτρο \(n\), τότε η ισοτιμία \(a^h \equiv 1 \bmod{n}\) ισχύει, αν και μόνο αν ο \(k\) διαιρεί τον \(h\). Συγκεκριμένα, έχουμε ότι \(k \mid \phi(n)\). Εν συνεχεία είδαμε το Θεώρημα \(18.1.3\) το οποία λέει ότι αν ο \(a\) έχει τάξη \(k\) ως προς το μέτρο \(n\), τότε η ισοτιμία \(a^i \equiv a^j \bmod{n}\) ισχύει, αν και μόνο αν \(i \equiv j \bmod{k}\). Δηλαδή δύο δυνάμεις του \(a\) είναι ισότιμες, αν και μόνο αν οι εκθέτες είναι ισότιμοι ως προς το μέτρο \(k\). Σύμφωνα με το Πόρισμα \(18.1.4\), αν ο \(a\) έχει τάξη \(k\) ως προς το μέτρο \(n\), τότε οι \(a, a^2, \ldots, a^k\) είναι ανισότιμοι ως προς το μέτρο \(n\). Το επόμενο αποτέλεσμα, Θεώρημα \(18.1.5\), μας δίνει την τάξη μιας οποιασδήποτε δύναμης του συναρτήσει του εκθέτη και της τάξης του \(a\). Συγκεκριμένα, αν ο \(a\) έχει τάξη \(k\) ως προς το μέτρο \(n\), τότε η τάξη του \(a^h\), όπου \(h>0\), είναι ίση με \(k/\gcd(h, k)\) ως προς το μέτρο \(n\). Έπεται ότι η τάξη του \(a^h\) είναι ίση με την τάξη του \(a\), αν και μόνο αν \(\gcd(h, k) = 1\). Σε περίπτωση που ο \(a\) έχει τη μεγαλύτερη δυνατή τάξη ως προς κάποιο μέτρο \(n\), δηλαδή η τάξη του \(a\) είναι ίση με \(\phi(n)\), ο \(a\) καλείται πρωταρχική ρίζα του \(n\). Προσέξτε ότι δεν έχουν όλοι οι φυσικοί πρωταρχικές ρίζες. Βασικό αποτέλεσμα εδώ αποτελεί το Θεώρημα \(18.2.3\) σύμφωνα με το οποίο, αν \(\gcd(a, n) = 1\) και οι \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\phi(n)}\) είναι οι φυσικοί που είναι μικρότεροι του \(n\) και σχετικά πρώτοι με τον \(n\) και ο \(a\) είναι πρωταρχική ρίζα του \(n\)τότε οι \(a, a^{2}, \ldots, a^{\phi(n)}\) είναι ισότιμοι ως προς το μέτρο \(n\) με τους \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\phi(n)}\) σε κάποια σειρά. Ως άμεσο πόρισμα παίρνουμε ότι, αν ο \(n\) έχει πρωταρχική ρίζα, τότε έχει ακριβώς \(\phi(\phi(n))\) πρωταρχικές ρίζες.

                    Το βίντεο του μαθήματος:



                    • 11 May - 17 May

                      Στο \(19\)ο μάθημα συνεχίσαμε με τη μελέτη των πρωταρχικών ριζών. Το πρώτο κεντρικό βοηθητικό αποτέλεσμα που αποδείξαμε ήταν το καλούμενο Θεώρημα του Lagrange σύμφωνα με το οποίο, αν ο \(p\) είναι πρώτος και το \(f(x)\) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού \(n \geq 1\) με ακέραιους συντελεστές, τότε η ισοτιμία \(f(x) \equiv 0 \bmod{p}\) έχει το πολύ \(n\) ανισότιμες (δηλαδή διαφορετικές) λύσεις ως προς το μέτρο \(p\). Πήραμε ως άμεσο πόρισμα αυτού (Πόρισμα \(19.1.2\)) ότι, αν \(p\) πρώτος και \(d\) φυσικός τέτοιος ώστε \(d \mid p-1\), τότε η ισοτιμία \(x^d - 1 \equiv 0 \bmod{p}\) έχει ακριβώς \(d\) λύσεις. Με βάση αυτό το πόρισμα δώσαμε μία διαφορετική απόδειξη του Θεωρήματος του Wilson. Δείξαμε τέλος το κεντρικό αποτέλεσμα: αν ο \(p\) είναι πρώτος και \(d \mid p-1\), τότε υπάρχουν ακριβώς \(\phi(d)\) ανισότιμοι ακέραιοι οι οποίοι έχουν τάξη \(d\) ως προς το μέτρο \(p\). Παίρνοντας \(d = p - 1\) λαμβάνουμε άμεσα το Πόρισμα \(19.2.2\): αν ο \(p\) είναι πρώτος, τότε υπάρχουν ακριβώς \(\phi(p-1)\) ανισότιμες πρωταρχικές ρίζες του \(p\). Εφόσον \(\phi(p-1) \geq 1\) για κάθε πρώτο \(p\), έχουμε ότι κάθε πρώτος έχει πρωταρχική ρίζα.



                      Το βίντεο του μαθήματος:
                      • This week