Καλησπέρα,
Μπορούμε να βρούμε πυρήνα, όχι ''καλο'' ,ο οποίος συνελίζοντας τον με μια συνεχή f στον Τ να συγκλίνει ομοιόμορφα στην f?
Ευχαριστώ.
\(\)
Καλή ερώτηση.
Έχουμε ορίσει ως καλό πυρήνα μια ακολουθία συναρτήσεων $k_n \in L^1({\mathbb T})$ με τις ιδιότητες που αναφέρονται στον ορισμό 4.1 των σημειώσεων. Με τις ιδιότητες αυτές δείξαμε (θεώρημα Fejer) ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση $f$ ισχύει $k_n * f \to f$ ομοιόμορφα.
Το ερώτημα λοιπόν είναι: αν για μια ακολουθία συναρτήσεων $k_n$ ισχύει $k_n*f \to f $ ομοιόμορφα, για κάθε συνεχή συνάρτηση $f$ ισχύουν τότε αναγκαστικά οι συνθήκες του ορισμού 4.1;
1. Ας κάνουμε πρώτα την έξτρα υπόθεση ότι $k_n \ge 0$.
Η απάντηση τότε είναι ότι μόνο η πρώτη συνθήκη μπορεί να αλλάξει, κατά ένα τετριμμένο τρόπο, και αντί να απαιτούμε $\int k_n = 1$ να ζητάμε $\int k_n \to 1$.
Το ότι η δεύτερη ιδιότητα δε μπορεί να αλλάξει είναι συνέπεια του θεωρήματος Banach-Steinhaus. Αν ορίσουμε τους τελεστές $T_n f = k_n * f$ από το χώρο των συνεχών υναρτήσεων στον εαυτό του, τότε έχουμε ότι $(T_n - Id) f \to 0$ στο χώρο αυτό, για κάθε $f$. Άρα η ακολουθία τελεστών $T_n-Id$ είναι συγκλίνουσα για κάθε $f$, άρα η ακολουθία αριθμών $\Linf{(T_n-Id)f}$ είναι φραγμένη για κάθε $f$ άρα $\|T_n-Id\| \le M$ (νόρμα τελεστών) είναι φραγμένη (από το θ. Banach-Steinhaus). Έπεται από την τριγωνική ανισότητα ότι $\|T_n\| \le M+1$. Αλλά η νόρμα τελεστή του $T_n$ είναι η $L^1$ νόρμα του $k_n$, άρα η ακολουθία $\int \Abs{k_n}$ είναι φραγμένη.
Η τελευταία ιδιότητα είναι ότι $\int_{\Abs{x} \ge \delta} k_n(x) \to 0$ (για την περίπτωση $k_n \ge 0$ που κοιτάμε τώρα) για κάθε $\delta > 0$. Ας είναι $f$ μια μη αρνητική συνεχής συνάρτηση με $f(0) = 0$ και $f(x) = 1$ για $\Abs{x} \ge \delta$ και με $\Linf{f} = 1$. Τότε $k_n*f(0) = \int k_n(x) f(-x) \ge \int_{\Abs{x} \ge \delta} k_n(x) f(-x) = \int_{\Abs{x} \ge \delta} k_n(x)$ και από τη σύγκλιση $k_n * f \to f$ στην $\Linf{\cdot}$ νόρμα προκύπτει ότι $k_n*f(0) \to 0$ που είναι η τρίτη ιδιότητα του καλού πυρήνα.
2. Για γενικό προσημασμένο πυρήνα $k_n$ η τρίτη ιδιότητα δεν είναι απαραίτητο να ισχύει. Παρατηρήστε ότι αν $k_n$ είναι καλός πυρήνας τότε $k_n*f \to f$ ομοιόμορφα. Ορίζουμε τότε τις συναρτήσεις $e_n(x) = e^{2\pi i n x}$ και το νέο πυρήνα $k_n'(x) = k_n(x)+e_n(x)$. Εύκολα βλέπει κανείς ότι η τρίτη ιδιότητα του καλού πυρήνα δεν ισχύει (αφού $\Abs{e_n(x)}=1$ παντού). Όμως $k_n'*f(x) = k_n*f(x) + e_n*f(x)$ και $e_n*f(x) = \int f(t) e^{2\pi i n (x-t)}\,dt = e^{2\pi i n x} \widehat{f}(n)$ που τείνει στο 0 από το Λήμμα Riemann-Lebesgue, ομοιόμορφα για $x \in \TT$, άρα ισχύει $k_n'*f \to f$ ομοιόμορφα.
Πολύ ενδιαφέρον, ευχαριστώ πολύ.