Θα μπορούσατε να μου εξηγείσετε γιατί ο C2 (δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις) είναι πυκνός στις συνεχείς συναρτήσεις (και γενικά στον L^p)?
\(\)Κατ' αρχήν, αν είναι πυκνές στις συνεχείς συναρτήσεις τότε είναι πυκνές και στον $L^p$, $1\le p < \infty$, αφού οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές εκεί.
Όσον αφορά το γιατί οι $C^2$ (ή και οι $C^\infty$) συναρτήσεις είναι πυκνές στις συνεχείς μπορεί κανείς να δώσει διάφορες απαντήσεις ανάλογα με το τί είναι διατεθειμένος κανείς να δεχτεί ως γνωστό.
Μια πρώτη προσέγγιση είναι το θεώρημα του Weierstrass, αφού κάθε πολυώνυμο έχει άπειρες παραγώγους.
Αν κανείς θέλει να προσεγγίσει ομοιόμορφα συνεχείς *και περιοδικές* συναρτήσεις τότε μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το θεώρμα του Fejer που έχουμε αποδείξει, αφού τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμα.
Μια άλλη προσέγγιση είναι να δείξει κανείς ότι μπορεί να κατασκευάσει μια συνάρτηση $\phi$ που (α) έχει συμπαγή φορέα (μηδενίζεται π.χ. έξω από το [-1, 1]), (β) είναι $C^\infty$ και (γ) έχει ολοκλήρωμα 1. Αν συμβολίσουμε $\phi_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}\phi\left(\frac{1}{\epsilon}\right)$ τότε μπορεί κανείς σχετικά εύκολα να δείξει ότι οι συναρτήσεις $\phi_\epsilon * f$ συγκλίνουν ομοιόμορφα στην $f$ αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Έχουμε ήδη δείξει στο μάθημα ότι αν συνελίξουμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση τότε το αποτέλεσμα είναι παραγωγίσιμη, και μάλιστα $(\phi_\epsilon * f)' = \phi_\epsilon' * f$, οπότε μπορούμε να επαναλάβουμε το επιχείρημα και να πάρουμε ότι η $\phi_\epsilon*f$ είναι $C^\infty$.
Όσον αφορά το γιατί οι $C^2$ (ή και οι $C^\infty$) συναρτήσεις είναι πυκνές στις συνεχείς μπορεί κανείς να δώσει διάφορες απαντήσεις ανάλογα με το τί είναι διατεθειμένος κανείς να δεχτεί ως γνωστό.
Μια πρώτη προσέγγιση είναι το θεώρημα του Weierstrass, αφού κάθε πολυώνυμο έχει άπειρες παραγώγους.
Αν κανείς θέλει να προσεγγίσει ομοιόμορφα συνεχείς *και περιοδικές* συναρτήσεις τότε μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το θεώρμα του Fejer που έχουμε αποδείξει, αφού τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμα.
Μια άλλη προσέγγιση είναι να δείξει κανείς ότι μπορεί να κατασκευάσει μια συνάρτηση $\phi$ που (α) έχει συμπαγή φορέα (μηδενίζεται π.χ. έξω από το [-1, 1]), (β) είναι $C^\infty$ και (γ) έχει ολοκλήρωμα 1. Αν συμβολίσουμε $\phi_\epsilon(x) = \frac{1}{\epsilon}\phi\left(\frac{1}{\epsilon}\right)$ τότε μπορεί κανείς σχετικά εύκολα να δείξει ότι οι συναρτήσεις $\phi_\epsilon * f$ συγκλίνουν ομοιόμορφα στην $f$ αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Έχουμε ήδη δείξει στο μάθημα ότι αν συνελίξουμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση τότε το αποτέλεσμα είναι παραγωγίσιμη, και μάλιστα $(\phi_\epsilon * f)' = \phi_\epsilon' * f$, οπότε μπορούμε να επαναλάβουμε το επιχείρημα και να πάρουμε ότι η $\phi_\epsilon*f$ είναι $C^\infty$.
Ευχαριστώ πολύ.