Discussions about the course material, etc.

De la Vallee Poussin Kernel

De la Vallee Poussin Kernel

by EVANGELOS TSIAMALOS -
Number of replies: 4

Καλησπέρα,

Δυσκολεύομαι να αποδείξω ότι οι συντελεστές Fourier του Vn είναι ίσοι με 1 για κ = -n, ... ,n χρησιμοποιώντας τον τύπο για τους συντελεστές Fourier του Κn.  Ωστόσο παρατήρησα ότι αν ορίσω Vn = 2*K(2n + 1) - Kn τότε μπορώ να το αποδείξω κατευθείαν. Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε σε αυτό;

Ευχαριστώ

In reply to EVANGELOS TSIAMALOS

Re: De la Vallee Poussin Kernel

by Μιχάλης Κολουντζάκης -
\(\)Ο $K_N$ έχει βαθμό $N$ άρα οι συντελεστές Fourier του μηδενίζονται από τον $N+1$ και πέρα (ομοίως από την αρνητική μεριά). Οι συντελεστές Fourier του $2 K_{2N}$ μηδενίζονται από τον $2N+1$ και πέρα. Αφαιρώντας παίρνουμε ότι η διαφορά $2 Κ_{2Ν}(x)-K_N(x)$ είναι σταθερά ίση με 1 μέχρι και τον συντελεστή $N+1$. Μετά πέφτει γραμμικά και μηδενίζεται στον $2N+1$. Ο ευκολότερος τρόπος να σκεφτεί κανείς τους συντελεστές Fourier του $K_N(x)$ είναι ώς τη συνάρτηση $1-\frac{|x|}{N+1}$ υπολογισμένη στους ακεραίους.

Νομίζω ότι το μόνο που δεν είπα σωστά στο video είναι ότι η γραμμική πτώση των συντελεστλών Fourier της $V_N$ ξεκινάει από το $N$ ενώ ξεκινά από το $N+1$ όπως έγραψα παραπάνω. Αυτό φυσικά δεν κάνει καμία διαφορά σε όλα όσα χρησιμοποιήθηκε ο πυρήνας $V_N$. Ακόμη κι αν τον "χαλάσουμε" σε μερικά σημεία τριγύρω από το $N$, π.χ., δε θα αλλάξει τίποτα σημαντικό.
In reply to Μιχάλης Κολουντζάκης

Re: De la Vallee Poussin Kernel

by EVANGELOS TSIAMALOS -

Καταλαβαίνω τι γίνεται όσον αφορά το πού μηδενίζονται, αλλά δεν μπορώ να δείξω ότι αφαιρώντας η διαφορά
2*K2n - Kn είναι σταθερά ίση με 1. Κάνω πράξεις και δεν μου βγαίνει 1.

In reply to EVANGELOS TSIAMALOS

Re: De la Vallee Poussin Kernel

by Μιχάλης Κολουντζάκης -
\(\)Έχεις δίκιο.

Το ότι έχουμε ορίσει τον $K_N$ να έχει βαθμό $N$ και όχι να μηδενίζεται ο συντελεστής Fourier του για πρώτη φορά στο $N$ είναι που δημιουργεί το πρόβλημα (αν είχαμε ορίσει, όπως γίνεται σε κάποια βιβλία, $K_N(x) = \sum_{k=-N+1}^{N-1} e^{ikx}$ τότε δε θα είχαμε το πρόβλημα αυτό.

Αυτό που συμβαίνει είναι ότι στην περίπτωση αυτή η κλίση της ευθείας (που σχηματίζει το τριγωνάκι των συντελεστών Fourier του $K_N$) είναι ίδια με 2 φορές την κλίση της ευθείας για τον $K_{2N}$, άρα όταν αφαιρούμε τις δύο συναρτήσεις αφαιρούμε δύο συναρτήσεις με γραφήματα παράλληλα, άρα η διαφορά τους είναι σταθερή μέσα στο διάστημα 0 έως $N$.

Με το δικό μας ορισμό αυτό δεν ισχύει ακριβώς: η κλίση της ευθείας του $K_N$ είναι $-\frac{1}{N+1}$ ενώ αυτή για τον $2 K_{2N}$ είναι $-\frac{2}{2N+1}$, που είναι πολύ κοντά στο $-\frac{1}{N+1}$ αλλά δεν είναι ίσο με αυτό.

Η απλούστερη λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι να ορίσουμε τον $V_N$ με τον τύπο $V_N(x) = 2K_{2N-1}(x)-K_{N-1}(x)$, χωρίς να αλλάξουμε τον ορισμό που έχουμε δώσει για το $K_N$. Οι ιδιότητες του $V_N$ διατηρούνται όλες και μπορούμε και πάλι να τον χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε αυτά που αποδείξαμε σε αυτή τη διάλεξη.
In reply to Μιχάλης Κολουντζάκης

Re: De la Vallee Poussin Kernel

by EVANGELOS TSIAMALOS -
Ωραία, και εγώ εκεί είχα καταλήξει. Ευχαριστώ πολύ.