Ισχύει ότι αν μια συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής σε ένα φραγμένο διάστημα \((a, b)\) τότε είναι και φραγμένη σε αυτό το διάστημα. Αυτή η πρόταση μας λέει ότι η συνάρτηση \(\frac{1}{x-1}\) δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής σε οποιοδήποτε διάστημα περιέχει το 1 ή έχει άκρο το 1 αφού αν ήταν ομ. συνεχής σε ένα τέτοιο διάστημα θα ήταν ομ. συνεχής και σε ένα φραγμένο διάστημα που περιέχει το 1 ή έχει άκρο το 1, αλλά σε οποιοδήποτε τέτοιο διάστημα η συνάρτησή μας δεν είναι φραγμένη, αφού το όριο στο 1 είναι άπειρο.
Την πρόταση αυτή όμως δεν την έχουμε αποδείξει στο μάθημα. Ιδού λοιπόν μια απόδειξη.
Θεώρημα: Αν \((a, b)\) είναι φραγμένο διάστημα και η \(f:(a,b) \to \RR\) είναι ομοιόμορφα συνεχής τότε είναι και φραγμένη.
Απόδειξη: Πάρτε τον ορισμό της ομ. συνέχειας με \(\epsilon=1\). Τότε υπάρχει \(\delta>0\) τ.ώ.
\[ \Abs{x-y} < \delta \implies \Abs{f(x)-f(y)} < 1. \]
Πάρτε ένα φυσικό αριθμό \(N\) τ.ώ. \(\frac{b-a}{N} < \delta\) και ας είναι \(x_1, \ldots, x_N\) τα σημεία
\[ x_j = a + j\frac{b-a}{N}, \]
και \(M\) η μέγιστη τιμή της \(\Abs{f}\) σε αυτά τα σημεία. Παρτε τώρα ένα \(y \in (a, b)\). Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα \(j=1,\ldots,N\) τ.ώ. \(\Abs{x_j-y} < \delta\) οπότε, από την ομ. συνέχεια, έχουμε \(\Abs{f(x_j)-f(y)} < \epsilon = 1\), άρα έχουμε δείξει ότι για κάθε \(y\) ισχύει
\[ -M-1 < f(y) < M+1, \]
και άρα η συνάρτησή μας ικανοποιεί το φράγμα \(\Abs{f} \le M+1\). \(\blacksquare\)