Η 6(iii) (άρρητοι του [1, 2]) είναι όντως λάθος, αφού για μια οποιαδήποτε διαμέριση, σε κάθε διάστημά της, το sup της συνάρτησης είναι 1 (αφού κάθε διάστημα περιέχει αρρήτους) και το inf είναι 0 (αφού κάθε διάστημα περιέχει και ρητούς). Η άλλη λάθος πρόταση είναι η (i). Π.χ. πάρτε τη χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών, η οποία παίρνει μόνο δύο τιμές, 0 ή 1, και που ήδη γνωρίζουμε ότι δεν είναι R-ολοκληρώσιμη.
Όσον αφορά τη δεύτερη ερώτησή σας "Μία συνάρτηση με αριθμήσιμες το πλήθος ασυνέχειες σε διάστημα [α,β] είναι R-ολοκληρώσιμη;" η απάντηση είναι ναι. Είναι αυτή μια από τις ερωτήσεις ενός quiz; Αν είναι πείτε μου παρακαλώ ποια.
Σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντησή σας.
Σχετικά με τις αριθμήσιμες ασυνέχειες, δεν θυμάμαι να έχω συναντήσει σε κάποιο quiz, απλά προσπαθώντας να καταλάβω τις R-ολοκληρώσιμες ή μη συναρτήσεις το διάβασα κάπου. Παρόλα αυτά προσπαθώ να καταλάβω γιατί ενώ το Q είναι αριθμήσιμο, η χαρακτηριστική του στο [0,1] ( με αριθμήσιμες ασυνέχειες ?) δεν είναι R-ολοκληρώσιμη.
Το να αποδείξει κανείς ότι μια συνάρτηση με αριθμήσιμες ασυνέχειες είναι R-ολοκληρώσιμη είναι σχετικά δύσκολο και δε νομίζω ότι το έχω κάνει στο μάθημα (αλλά μπορεί να κάνω λάθος εδώ, λόγω ανεπαρκούς μνήμης). Όμως η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών δεν είναι ασυνεχής μόνο στους ρητούς αλλά παντού. Όποιο σημείο και να πάρετε μπορείτε να συγκλίνετε σε αυτό με μια ακολουθία ρητών (οπότε διαβάζετε την τιμή 1 στις τιμές της ακολουθίας) αλλά και με μια ακολουθία αρρήτων (οπότε βλέπετε την τιμή 0). Όποια τιμή κι αν παίρνει η συνάρτησή σας στο σημείο αυτό θα είναι άρα ασυνεχής.