Βάζω σαν απάντηση 01 λάθος είναι;Το σύνολο είναι ανοιχτό γιατί το συμπλήρωμα του είναι κλειστό αλλά δεν είναι κλειστό γιατί μπορεί να έχω ακολουθία σημείων κάτω από την ζητούμενη παραβολή αλλά το όριο της ακολουθίας να πέφτει πάνω στην παραβολή(αν είχε και την ισότητα θα ήταν και κλειστό).Κάνω λάθος;
Υπαρχει ενα πολυ ευχρηστο θεωρημα (μονο για τον ευκλειδιο χωρο,βεβαια) που σου επιτρεπει ευκολα να ξεκαθαρισεις αν ενα συνολο ειναι ανοικτο ή κλειστο σε τετοιου ειδους περιπτωσεις.Αν εχεις μία συνεχης συναρτηση f:A(υποσυνολο του R^n)-->R^m και U(υποσυνολο του R^m) ανοικτο(/κλειστο) τοτε υπαρχει ανοικτο(/κλειστο) Κ(υποσυνολο του R^n) τ.ω η f^-1 (U)=V(τομη)A
Παρε τωρα την f(x,y)=x^2-y :R^2-->R και παρε το U=(0,+απειρο) το οποιο ειναι ανοικτό συνολο,f ειναι συνεχης (ευκολα μπορεις να το δειξεις με γνωσεις απ 2, ειτε οτι εχεις γινομενα και αθροισματα των συναρτησεων- προβολων π1(x,y)=x και π2(x,y)=y που ειναι συνεχεις σε ολο το R^2) απτο παραπανω εχεις οτι υπαρχει ανοικτο συνολο V (υποσυνολο του R ^2) f^-1 (U)={(x,y):f(x,y)=x^2-y>0}=V(τομη) R^2=V(το οποιο ειναι ανοικτο)
Η αληθεια ειναι πως δε ξερω καλα μετρικους χωρους (ειμαι στο 2ο τμημα).Παντως εγω που ειχα μια τετοια (σχεδον ιδια ερωτηση) ανοικτο το εβαλα και μ το πηρε σωστο!
Ελπιζω να βοηθησα!