Ναι, αν μια συνάρτηση δεν είναι Lipschitz τότε δε συνεπάγεται ότι είναι ή ότι δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής. Και τα δύο μπορούν να συμβούν. Η συνάρτηση \(\sqrt{x}\) στο [0,1] δεν είναι Lipschitz αλλά είναι ομοιόμορφα συνεχής ενώ η συνάρτηση \(x^2\) στο \(\RR\) δεν είναι Lipschitz και δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Για τη δεύτερη ερώτησή σας η απάντηση είναι όχι. Μπορεί μια συνάρτηση να έχει μη φραγμένη παράγωγο και να είναι ομοιόμορφα συνεχής. Δείτε π.χ. τα παραδείγματα εδώ.