Αν μια συνάρτηση ΔΕΝ είναι Lipschitz τοτε δεν συνεπαγεται οτι ειναι ομοιόμορφα συνεχής, αυτη η προταση ισχύει?
Αν η f ειναι παραγωγίσιμη και f ' οχι φραγμένη τοτε μπορώ να συμπαιράνω οτι η f δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής?
Συζητήσεις για το μάθημα
απορια
απορια
Re: απορια
Ναι, αν μια συνάρτηση δεν είναι Lipschitz τότε δε συνεπάγεται ότι είναι ή ότι δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής. Και τα δύο μπορούν να συμβούν. Η συνάρτηση \(\sqrt{x}\) στο [0,1] δεν είναι Lipschitz αλλά είναι ομοιόμορφα συνεχής ενώ η συνάρτηση \(x^2\) στο \(\RR\) δεν είναι Lipschitz και δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Για τη δεύτερη ερώτησή σας η απάντηση είναι όχι. Μπορεί μια συνάρτηση να έχει μη φραγμένη παράγωγο και να είναι ομοιόμορφα συνεχής. Δείτε π.χ. τα παραδείγματα εδώ.