Πρόκειται για την ερώτηση 2 με την # μπροστά.Αν στην εκφώνηση έλεγε:
Αν ΚΑΘΕ κάτω Riemann άθροισμα της f:[a,b]->R είναι ίσο με το αντίστοιχο(για την ίδια διαμέριση) άνω Riemann άθροισμα της f τότε η f είναι σταθερή στο [a,b]
Τότε είναι σίγουρα σωστή.Τώρα όμως που λέει ΚΑΠΟΙΟ αντι για ΚΑΘΕ είναι λάθος;
Και αν ναι υπάρχει τρόπος να το αποδείξουμε;
Ευχαριστώ για την παρατήρησή σας.
Το σύμβολο # μπροστά από την ερώτηση σημαίνει ότι αυτή η ερώτηση δε θα έπρεπε να είναι εκεί (το σύμβολο αυτό το χρησιμοποιώ για να "κρύψω" κάποιες ερωτήσεις, αλλά φαίνεται ότι υπήρξε κάποιο τεχνικό πρόβλημα στα προργράμματά μου και αυτό δεν έγινε).
Ο λόγος που δεν ήθελα να είναι η ερώτηση αυτή εκεί είναι ότι η απάντηση μπορεί να αλλάξει με μια ανεπαίσθητη αλλαγή στον ορισμό των κάτω και άνω αθροισμάτων. Και εξηγώ.
Αν πάρουμε ως ορισμό του κάτω αθροίσματος το άθροισμα \[\sum_{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k) \inf_{x \in [t_k, t_{k+1}]} f(x)\] (όπως στις σημειώσεις Μήτση π.χ.) τότε η απάντηση είναι "σωστή". Αν όμως πάρουμε ως ορισμό το άθροισμα \[\sum_{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k) \inf_{x \in [t_k, t_{k+1})} f(x),\] ώστε τα διαστήματα όπου παίρνουμε το infimum να μην έχουν κοινά σημεία, τότε η απάντηση είναι λάθος. Η μόνη διαφορά στους δύο ορισμούς είναι ότι στη μια περίπτωση παίρνουμε infimum στο διάστημα \([t_k, t_{k+1}]\) (κλειστό δεξιά) και στην άλλη στο διάστημα \([t_k, t_{k+1}\) (ανοιχτό δεξιά). Και με τους δύο τρόπους μπορεί κανείς να ορίσει το ίδιο Riemann ολοκλήρωμα.
Σε κάθε μια από τις δύο αυτές περιπτώσεις το γεγονός ότι ένα κάτω άθροισμα ισούται με το αντίστοιχο άνω άθροισμα σημαίνει ότι σε κάθε ένα από τα διαστηματάκια της διαμέρισης το sup είναι ίσο με το inf και άρα η συνάρτησή μας είναι σταθερή μέσα σε κάθε τέτοιο διαστηματάκι.
Αν (2η περίπτωση ορισμού) τα διαστηματάκια αυτά δε τέμνονται τότε δεν υπάρχει τρόπος να συσχετίσουμε την τιμή που παίρνει η \(f\) σε ένα διάστημα με την τιμή που παίρνει στο επόμενο διάστημα. Οπότε δε μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι η \(f\) είναι σταθερή (γιατί μπορεί να είναι σταθερή σε κάθε διαστηματάκι αλλά όχι σε όλο το μεγάλο διάστημα).
Αν όμως (1η περίπτωση ορισμού) τα διαστηματάκια αυτά έχουν κοινό σημείο (ένα άκρο) τότε αυτόματα η τιμή της \(f\) σε κάθε διάστημα θα είναι η ίδια με την τιμή στο επόμενο διάστημα και άρα η \(f\) θα είναι σταθερή σε ολόκληρο το μεγάλο διάστημα.
Πιστεύω ότι αυτό το πρόβλημα δεν υπάρχει σε άλλες ερωτήσεις. Θα κάνω μια τροποποίηση του βαθμού της άσκησης στο τέλος του μαθήματος με κάποιο τρόπο.