Πρόβλημα 1: Ρίχνουμε 4 ζάρια. Υπολογίστε (με πλήρη αιτιολόγηση) την πιθανότητα το άθροισμά τους να είναι τουλάχιστον 22.
Λύση: Μετράμε τις διατεταγμένες 4άδες που φέρνουν άθροισμα \(\ge 22\) ανάλογα με το πόσα 6άρια έχουν.
4 6άρια: μόνο η 6666
3 6άρια: τρία 6άρια κι ένα 5άρι ή τρία 6άρια κι ένα 4άρι. Κάθε μια κατηγρορία έχει 4 τετράδες (επιλέγουμε τη θέση του 4 ή του 5), σύνολο 8
2 6άρια: και 2 5άρια. Σύνολο \(\binom{4}{2}=6\) τετράδες (επιλέγουμε πού πάνε τα 5άρια).
με λιγότερο από 2 6άρια δε γίνεται.
Σύνολο: 15 τετράδες. Η πιθανότητα κάθε μιας είναι \(6^{-4}\) άρα η πιθανότητα που ζητάμε είναι \(15 \cdot 6^{-4}\).
Πρόβλημα 2: Ένα νόμισμα έχει πιθανότητα κορώνας \(p\). Το ρίχνουμε 5 φορές στη σειρά. Υπολογίστε (με πλήρη αιτιολόγηση) την πιθανότητα ότι στο αποτέλεσμα (μια 5άδα από Κ ή Γ) θα δούμε τουλάχιστον δύο διαδοχικά Κ.
Λύση: Βρίσκουμε τις κατηγορίες αποτελεσμάτων και τις πιθανότητές τους ανάλογα με το πόσα Κ περιέχουν. (Τώρα δεν είναι όλες οι 5άδες εξίσου πιθανές. Η πιθανότητα κάθε 5άδας εξαρτάται από το πόσα Κ έχει.)
5 Κ: μία 5άδα με πιθανότητα \(p^5\).
4 K: 5 5άδες με πιθανότητα \(p^4(1-p)\) η κάθε μία. Όλες έχουν κάπου 2 διαδοχικά Κ.
3 Κ: \(\binom{5}{2}-1 = 9\) 5άδες, με πιθανότητα \(p^3(1-p)^2\) η κάθε μία. Το -1 είναι γιατί η μόνη 5άδα με 3 Κ που δεν έχει διαδοχικά Κ είναι η ΚΓΚΓΚ.
2Κ: 4 5άδες (επιλέγουμε τη θέση του πρώτου Κ) με πιθανότητα \(p^2(1-p)^3\) η κάθε μία.
Συνολικά η πιθανότητα είναι:
\[ p^5 + 5p^4(1-p) + 9p^3(1-p)^2 + 4p^2(1-p)^3. \]