Ανάλυση ΙΙ

\(\)Αν κάποιος λύνει κάποια άσκηση ας τη συζητάει με μένα ή ας αναρτά τη λύση στο forum.

Προβλήματα προς λύση (νεώτερα στο τέλος της λίστας)

1. (20-3-2019)
   Δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία πολυωνύμων που συγκλίνει κατά σημείο στη συνάρτηση \(\sin{x}\) σε ολόκληρο το \(\RR\).
   Ομοίως για τη συνάρτηση
   \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{ για } x > 0 \\ 0 & \text{ για } x \le 0 \end{cases}.\]
2. (20-3-2019)
   Ας είναι $\QQ = \Set{r_1, r_2, r_3, \ldots}$ μια αρίθμηση των ρητών αριθμών. Ορίζουμε τη συνάρτηση
   $$f(x) = \sum_{n:\ r_n\le x} \frac{1}{n^2}.$$
   Βρείτε τα σημεία συνέχειας της $f$.
   
   
   
3. (20-3-2019)
   Στο $\RR^n$ ορίζουμε τη μετρική (επιβεβαιώστε ότι όντως ικανοποιεί  τα αξιώματα της μετρικής)
   $$d(x, y) = \max\Set{\Abs{x_1-y_1}, \ldots, \Abs{x_n-y_n}}$$
   όπου $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n), y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$. Αν $v_k$, $k=1,2,\ldots$, είναι μια ακολουθία σημείων στο $\RR^n$ λέμε ότι συγκλίνει στο $v \in \RR^n$ αν
   $$d(v_k, v) \to 0.$$
   Αν $v_k \in [0,1]^n$ είναι μια ακολουθία σημείων μέσα στο μοναδιαίο κύβο του $\RR^n$ δείξτε ότι έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

1. (7-3-2017)
   Η συνάρτηση $f:\RR\to\RR$ ορίζεται ως εξής. Αν $x = \frac{m}{n}$, με $m \in \ZZ$, $n \in \NN$, και με $(m,n)=1$ (μέγιστος κοινός διαιρέτης ίσος με 1, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα $m/n$ είναι ανάγωγο) τότε ορίζουμε $f(x)=\frac{1}{n}$. Αν το $x$ δεν είναι ρητός τότε ορίζουμε $f(x)=0$.
   Αποδείξτε ότι η $f(x)$ είναι συνεχής ακριβώς στους άρρητους αριθμούς.
   
   Έχει λυθεί από 3.
   
   
2. (7-3-2017)
   Βρείτε μια ακολουθία συναρτήσεων $f_n:[0,1]\to [0,+\infty)$ με τις παρακάτω ιδιότητες:
   • $\int_0^1 f_n(x)\,dx \to 0$ για $n\to\infty$.
   • $\forall x \in [0,1]:\ \liminf_{n \to \infty} f_n(x) = 0$.
   • $\forall x \in [0,1]:\ \limsup_{n \to \infty} f_n(x) = +\infty$.

   Έχει λυθεί από 1.

3. (12-3-2017)
   Βρείτε μια συνάρτηση $f:\RR\to\RR$ που να είναι παντού παραγωγίσιμη αλλά η παράγωγός της να μην είναι παντού συνεχής.
   
   Έχει λυθεί από 1.
   
   
4. (14-3-2017)
   (α) Έστω $p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \cdots + p_n x^n$ ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής. Αν $p(x)>0$ για κάθε $x \in \RR$ δείξτε ότι υπάρχει $c>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x\in\RR$ να ισχύει $p(x) \ge c$.
   
   (β) Δείξτε ότι το (α) δεν ισχύει για πολυώνυμα δύο μεταβλητών
   $$q(x, y) = q_{0,0} + q_{1,0}x + q_{0,1}y + q_{1,1}xy + q_{2,0}x^2 + \cdots + q_{m,n}x^m y^n.$$
   Βρείτε δηλ. ένα τέτοιο πολυώνυμο ώστε να ισχύει
   $$q(x,y) > 0,\ \ \ \text{για κάθε $(x,y) \in \RR^2$},$$
   και επίσης για κάθε $\epsilon>0$ να υπάρχει $(x,y)$ ώστε $q(x,y) \le \epsilon$.
   
   
5. (14-3-2017)
   Αν $\alpha>0$ είναι άρρητος αριθμός και $(a,b) \subseteq [0,1]$ δείξτε ότι υπάρχει $n \in \ZZ$ τέτοιο ώστε
   $$\{n\alpha\} \in (a,b)$$
   όπου $\{x\} = x-\Floor{x}$ είναι το κλασματικό μέρος του αριθμού $x$.
   
   Έχει λυθεί από 1.
   
   
6. (14-3-2017)
   Αν $x_n \ge 0$ και $\sum_n x_n < \infty$ δείξτε ότι υπάρχει $y_n \to \infty$ τέτοια ώστε $\sum_n x_n y_n < \infty$.
   
   Έχει λυθεί από 1.
   
   
7. (19-3-2017)
   Δίδεται μια διπλή ακολουθία
   $$a_{m,n},\ \ \ m,n \in \NN,$$
   με $a_{m,n} \in \Set{0, 1, 2}$ για κάθε ζεύγος $m,n \in \NN$.
   (Μπορείτε να σκέφτεστε τη διπλή ακολουθία σα μια ακολουθία από ακολουθίες, δηλ. για κάθε $m\in\NN$ έχουμε μια ολόκληρη ακολουθία, την $a_{m,n}$, $n\in\NN$.)
   
   Δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία $x_n$, $n \in \NN$, με $x_n \in \Set{0, 1, 2}$ για κάθε $n \in \NN$, διαφορετική από όλες τις ακολουθίες $y_n = a_{m, n}$. Με άλλα λόγια
   $$\forall m \in \NN\ \exists n \in \NN:\ \ a_{m,n} \neq x_n.$$
   
   Έχει λυθεί από 1.
   
   

8. Στο επίπεδο βρίσκονται ζωγραφισμένα κάποια «οχτάρια.»

   Ένα οχτάρι είναι μια καμπύλη στο επίπεδο που αυτοτέμνεται μια φορά και χωρίζει το επίπεδο σε τρία μέρη. Δε χρειάζεται να είμαστε πιο ακριβείς στον ορισμό μας.
   
   
   
   

   Τα οχτάρια αυτά δεν αλληλοτέμνονται. Δείξτε ότι το πλήθος τους είναι αριθμήσιμο.

   Σημείωση: Έχει σημασία ότι μιλάμε για οχτάρια κι όχι, π.χ., για κύκλους. Πολύ εύκολα βλέπουμε ότι μπορούμε να έχουμε υπεραριθμήσιμο πλήθος από μη τεμνόμενους κύκλους στο επίπεδο, για παράδειγμα όλοι οι κύκλοι με κέντρο ένα σταθερό σημείο.
   
   

9. Δίνεται μια ακολουθία διαστημάτων,$I_j = (a_j, b_j)$, και έστω
   $$U = \bigcup_{j=1}^\infty I_j$$.
   Υποθέστε επίσης ότι η ακολουθία $b_j-a_j$ συγκλίνει στο 0 κατά φθίνοντα τρόπο.

   Δείξτε ότι μπορεί κανείς να επιλέξει μια υπακολουθία από τα $I_j$ που να είναι ξένα ανά δύο και που αν κανείς τα τριπλασιάσει (κρατήσει δηλ. το κέντρο ενός διαστήματος το ίδιο και τριπλασιάσει το μήκος του) καλύπτουν το $U$.
   
   

10. Ας είναι $A$ και $B$ δύο σύνολα και $f:A\to B$, $g:B\to A$ δύο 1-1 συναρτήσεις ανάμεσα στα δύο σύνολα. Δείξτε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $h:A\to B$ που είναι 1-1 και επί.
    
    
11. Ας είναι $X = \Set{(x_1, x_2, x_3, \ldots):\ \ \exists M \in \RR:\ \ \forall j:\ \ \Abs{x_j} \le M}$ το σύνολο όλων των φραγμένων ακολουθιών πραγματικών αριθμών. Ορίζουμε τη μετρική $\rho(x, y) = \sup_{j = 1, 2, \ldots} \Abs{x_j-y_j}$ (είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι αυτό είναι όντως μετρική).
    Δείξτε ότι δεν υπάρχει αριθμήσιμο υποσύνολο $E \subseteq X$ τέτοιο ώστε κάθε σημείο του $X$ να απέχει το πολύ 1 από κάποιο σημείο του $E$, να έχει δηλ. την ιδιότητα
    $$\forall x \in X:\ \ \exists e \in E:\ \ \rho(e, x)<1.$$
    Συνέπεια αυτού είναι ότι ο μετρικός χώρος $X$ δεν έχει πυκνή ακολουθία (όπως π.χ. έχει το $\RR$ τους ρητούς, που είναι και αριθμήσιμο σύνολο και πυκνό).
    
    
12. Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση $f:\RR \to \RR$, φραγμένη, παντού συνεχή και πουθενά μονότονη. Η συνάρτηση $f$ έχει δηλ. την ιδιότητα ότι δεν είναι μονότονη σε κανένα διάστημα.
    
    
13. Αν $F \subseteq \RR$ είναι κλειστό σύνολο δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία $a_n \in \RR$ της οποίας τα οριακά σημεία είναι ακριβώς τα σημεία του $F$.
    
    
14. Ένα υποσύνολο $E \subseteq \RR$ λέγεται "σύνολο μηδενικού μέτρου" αν για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει ακολουθία διαστημάτων $(a_n, b_n)$ τέτοια ώστε
    $$\sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n) < \epsilon \text{ και } E \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty (a_n, b_n).$$
    Δείξτε ότι κάθε αριθμήσιμο σύνολο $E \subseteq \RR$ είναι σύνολο μηδενικού μέτρου.