Ανάλυση ΙΙ

Ορίσαμε σήμερα την κλειστότητα \(\overline{A}\) ενός συνόλου \(A\), υποσυνόλου ενός μετρικού χώρου \(X\). Τα σημεία του \(\overline{A}\) ονομάζονται οριακά σημεία του \(A\) και είναι, με απλά λόγια, όλα εκείνα τα σημεία του μετρικού χώρου \(X\) που είναι όρια ακολουθιών από το \(A\).

Είδαμε ότι το σύνολο \(\overline{A}\) είναι πάντα κλειστό και μάλιστα είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το \(A\), άρα \(A = \overline{A}\) αν και μόνο αν το \(A\) είναι κλειστό σύνολο.

Είδαμε επίσης πάρα πολλά παραδείγματα συνόλων και της κλειστότητάς τους, σε διάφορους μετρικούς χώρους.