Ανάλυση ΙΙ

Είδαμε σήμερα ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης ορισμένης στο \(\RR\) και με τιμές στο \(\RR\) έχει μια άμεση και προφανή γενίκευση σε συναρτήσεις από ένα μετρικό χώρο σε ένα άλλο (ομοίως και ο ορισμός της ομοιόμορφης συνέχεις σε ένα σύνολο). Είδαμε διάφορα παραδείγματα και αποδείξαμε ότι είναι (ή όχι) συνεχείς. Τέλος αποδείξαμε τον εξής χαρακτηρισμό για συνεχείς συναρτήσεις: Μια συνάρτηση \(f:X\to Y\) από ένα μετρικό χώρο \(X\) σε ένα μετρικό χώρο \(Y\) είναι συνεχής παντού στο \(X\) αν και μόνο αν οι προεικόνες όλων των ανοιχτών συνόλων στο \(Y\) είναι ανοιχτά σύνολα στο \(X\). (Η ίδια πρόταση ισχύει και με τη λέξη κλειστό στη θέση της λέξης ανοιχτό.)