Πέ, 7 Φεβ 2019: Ομοιόμορφη συνέχεια
\(\)Είδαμε την έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης $f:A\to\RR$. Είδαμε σε τι διαφέρει από την απλή συνέχεια μιας συνάρτησης, είδαμε ότι η ομοιόμορφη συνέχεια συνεπάγεται την απλή συνέχεια αλλά το ανάποδο δεν ισχύει (είδαμε δηλ. παράδειγμα συνάρτησης που είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της αλλά όχι ομοιόμορφα συνεχής - μια τέτοια είναι η $f(x) = x^2$ ορισμένη στο $\RR$).
Υπό κάποιες πιο ειδικές συνθήκες όμως μπορεί η απλή συνέχεια να έχει ως συνέπεια την ομοιόμορφη συνέχεια. Το βασικότερο θεώρημα που αποδείξαμε είναι ότι αν η $f:[a,b]\to\RR$ είναι συνεχής στο κλειστό και φραγμένο διάστημα $[a,b]$ τότε είναι και ομοιόμορφα συνεχής στο ίδιο διάστημα.
Μια συνάρτηση $f:A\to\RR$ έχει την ιδιότητα Lipschitz με σταθερά $M>0$ αν
\[\Abs{f(x)-f(y)} \le M\Abs{x-y}, \text{ για κάθε } x, y \in A.\]
Είναι φανερό ότι κάθε τέτοια συνάρτηση είναι αναγκαστικά ομοιόμορφα συνεχής στο $A$ (αλλά η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει: η συνάρτηση $\sqrt{x}$ είναι ομ. συνεχής στο $[0,1]$ αλλά όχι Lipschitz εκεί). Αν το σύνολο $A$ (εκεί όπου ορίζεται η $f$) είναι διάστημα (φραγμένο ή όχι) και η $f$ είναι παντού εκεί παραγωγίσιμη με παράγωγο φραγμένη τότε είναι μια απλή συνέπεια του θεωρήματος Μέσης Τιμής ότι είναι και Lipschitz εκεί (και πάλι, η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει: η συνάρτηση $\Abs{x}$ είναι Lipschitz σε ολόκληρο το $\RR$ με σταθερά 1 αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη παντού). Χρησιμοποιώντας αυτά μπορεί κανείς εύκολα να δείξει ότι η συνάρτηση $\sin x$ είναι ομ. συνεχής στο $\RR$. Ομοίως και για τη συνάρτηση $e^{-x^4}$.
Διαβάστε το Κεφ. 5 των σημειώσεων Μήτση.