Weekly outline

  • General

  • 25 September - 1 October

     Τρίτη, 26 Σεπτεμβρίου 2017

    Εισαγωγή:  Ιστορικά στοιχεία, ποιά προβλήματα βρήκαν την λύση τους μέσω της Θεωρίας  και που

    βρίσκει σήμερα εφαρμογές η Θεωρία Galois.

     Πέμπτη, 28 Σεπτεμβρίου 2017

     ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

    1.  Βασικοί ορισμοί

     Βαθμός επέκτασης, παραδείγματα επεκτάσεων, πολλαπλασιαστικότητα των βαθμών. Επισύναψη.

     Αλγεβρικές και υπερβατικές επεκτάσεις.

  • 2 October - 8 October

    Δευτέρα 2 Οκτωβρίου 2017,

    2. Αλγεβρικές επεκτάσεις

     Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική.

     Χαρακτηρισμός της απλής επέκτασης που προκύπτει με επισύναψη ενός αλγεβρικού στοιχείου.

     Ελάχιστο πολυώνυμο του στοιχειου αυτού.

     Πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση από αλγεβρικά στοιχεία είναι πεπερασμένη και συνεπώς αλγεβρική.

     Αλγεβρική θήκη μιας επέκτασης.

     Πέμπτη 5 Οκτωβρίου 2017

     Κριτήρια αναγωγισιμότητας και παραδείγματα επεκτάσεων.

  • 9 October - 15 October

     Τρίτη, 10 Οκτωβρίου 2017

    Η μεταβατικότητα της έννοιας της αλγεβρικής επέκτασης,

    Κ-ισομορφισμοί μεταξύ των σωμάτων Κ(α) και Κ(β).

     το θεώρημα του Kaplansky

     Πέμπτη 12 Οκτωβρίου 2017

    Αν φ(Χ) ανάγωγο υπέρ το σώμα Κ, τότε υπάρχει επέκταση του Κ, έστω L η οποία να

    περιέχει  μία ρίζα του φ(Χ). Παραδείγματα.

     Αν  το u στοιχείο του L, της επέκατασης   L/K είναι υπερβατικό υπέρ το Κ, τότε K(u)  ισόμορφο προς το Κ(Χ). Με το u  είναι και το u^2  υπερβατικό και μάλιστα ισχύει:

     Κ(u^2)  είναι γνήσιο υπόσωμα του Κ(u). Συμπέρασμα : Υπάρχει άπειρο πλήθος ενδιάμεσων

    σωμάτων στην επέκταση  K(u)/K.

    Χαρακτηριστική σώματος.

  • 16 October - 22 October

    Τρίτη 17, Οκτωβρίου 2017

     Επεκτάσεις Galois ,Κ-  αυτομορφισμοί σωμάτων, χαρακτηρίζονται από τις τιμέςστο σύνολο γεννητόρων, μεταθέτουν το σύνολο των ριζών ενός αναγώγου πολυωνύμου υπέρ το Κ, και αν

    [L:K]  πεπερασμένη, τότε και η ομάδα Galois Gal(L/K) είναι πεπερασμένη., παραδείγματα,( τα κλασικά)

     Πέμπτη 19 Οκτωβρίου

    Ορισμός του σώματος ανάλυσης πολυωνύμου με συντελεστές από το Κ,απλές επεκτάσεις, 

    Παραδείγματα, Κυκλοτομικές επεκτάσεις, αν t υπερβατικό υπέρ το Κ , L=K(t) και u στοιχείο του  το οποίο δεν ανήκει στο Κ ,υπολογισμός του βαθμού επέκτασης [K(t):K(u)], ομάδα Galois της επέκτασης K(t)/K και Θεώρημα του Lueroth.

  • 23 October - 29 October

    Τρίτη, 24 Οκτωβρίου 2017,

    Επεκτάσεις Galois, χαρακτήρες ομάδων, Θεώρημα του Dedekind, Αν πεπερασμένη  επ. σωμάτων τότε

    #Gal(L/K)< ή ίση προς [L:K]. Αν Κ=F(G)  Τότε #G=[L:K]

    ΟρισμόςΑν  L/K αλγεβρική τότε : L/K Galois :ότανν Κ=F(Gal(L/K)).

    Πέμπτη 26 Οκτωβρίου 2017,

    Π1: Άν  L/K   πεπερασμένη τότε (L/K Galois ότανν #Gal(L/K)=[L:K]

    Π2: L/K, α του L αλγεβρικό υπέρ το Κ. τότε

    (Κ(α)/Κ Galois, τότε και μόνο τότε όταν το Irr(a,K)  έχε ιδιακεκριμένες ρίζες και όλες στο Κ(α).

    $6 Κανονικές επεκτάσεις:

     Σώμα ανάλυσης, αλγεβρικά κλειστό σώμα,αλγεβρική θήκη.

  • 30 October - 5 November

    Τρίτη 31η Οκτωβρίου 2017

     Κανονικές επεκτάσεις, Ορισμός και παραδείγματα,

     Ισοδύναμες προτάσεις (χαρακτηρισμοί των κανονικών επεκτάσεων.

     Πέμπτη, 2α Νοεμβρίου 2017

    Κανονικές επεκτάσεις. Βασικές ιδιότητες. Το Θεώρημα  χαρακτηρισμού των επεκτάσεων  Galois.

  • 6 November - 12 November

     Τρίτη, 7 Νοεμβρίου 2017

    Διαχωρίσιμες επεκτάσεις και πλήρως μη-διαχωρίσιμες επεκτάσεις.

    Πέμπτη, 9 Νοεμβρίου 2017

     Το θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois για πεπερασμένες  επεκτάσεις Galois.

     Το θεώρημα της μεταφοράς, παραδείγματα.

     

  • 13 November - 19 November

    Τρίτη 14, Νοεμβρίου του 2007

     Χαρακτηρισμός των (πεπερασμένων) απλών επεκτάσεων.

     Πορίσματα:

    - Πεπερασμέμη και διαχωρίσιμη  συνεπέγεται απλή επέκταση,

    - Πεπερασμένη  χαρακτηριστικής μηδέν,  συνεπάγεται απλή επέκταση.

    - Πεπερασμένη Galois , είναι απλή.

     Θεωρήματα εύρεσης του γεννήτορα μιας απλής επέκτασης.

     Πέμπτη 16, Νοεμβρίου 2017

     Η κανονική θήκη μιας αλγεβρικής επέκτασης σωμάτων. 

    Χαρακτηρισμοί της κανονικής θήκης

     Το θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας και το Θεώρημα κανονικοπoίησης της Noether

      διατυπώθηκαν και θα αποδειχθούν από τους φοιτητές στις διαλέξεις.

     Τέλεια σώματα και ο χαρακτηρισμός τους.

     Εισαγωγή στη θεωρία των πεπερασμένων σωμάτων.

    Διάλεξεις: (Είναι οι πρώτες διαλέξεις των τριών φοιτητών)

     Κώστα Τσέλιου, 

    "Τρεις Προτάσεις της Θεωρίας Σωμάτων"

      Δευτέρα, 20η Νοεμβρίου του 2017

     Αίθουσα Β212, 8:30-10:30

    Ματθαίου Βουτουφιανάκη,

    Επίλυση κυβικών εξισώσεων και κλασική απόδειξη του θεμελιώδους Θεωρήματος των συμμετρικών συναρτήσεων.

    Δευτέρα, 20η Νοεμβρίου του 2017

     Αίθουσα Β212, 11:00-13:00

    Νικόλαου Βαρδουλάκη,

     Απαλείφουσα και Διακρίνουσα

     Τετάρτη, 22α Νοεμβριου του 2017

     Αίθουσα Β212,   9:00-11:00

    • 20 November - 26 November

      Τρίτη 21η, Νοεμβρίου 2017

       Όλα τα βασικά θεωρήματα της Θεωρίας Galois πεπερασμένων σωμάτων.

       Πέμπτη 23η Νοεμβρίου 2017

       Κυκλοτομικά σώματα 

    • 27 November - 3 December

    • 4 December - 10 December

      Το κυκλοτομικό πολυώνυμο υπέρ το Q έχει ακέραιους συντελεστές και είναι ανάγωγο.

       Η ομάδα Galois των κυκλοτομικών πολυωνύμων.

       Norm και ίχνος για κάθε επέκταση σωμάτων και βασικές ιδιότητες αυτών.

       Υπολογισμός της διακρίνουσας πολυωνύμων.

    • 11 December - 17 December

       Τρίτη 5η Δεκεμβρίου του 2017

       Υπολογισμός διακρίνουσας κυκλοτομικών πολυωνύμων και τριωνύμων βαθμού > 2.

       Ορισμός της πρώτης συνομολογίας ομάδων και απόδειξη του Θεωρήματος 90 του Hilbert

      τόσο στην πολλαπλασιαστική του μορφή όσο και στην αντίστοιχη προσθετική.

       Πέμπτη, 7η Δεκεμβρίου του 2017

       Κυκλικές επεκτάσεις σωμάτων  ,όταν

      1. Βαθμού n  όταν το βασικό σώμα Κ έχει χαρακτηριστική μηδεν ή p,  όπου p δεν διαιρεί το n,

      και

       2.  Βαθμού p  όταν το βασικό σώμα Κ έχει χαρακτηριστική p. (Θεώρημα των Artin- Schreier)

       Ορισμός των επεκτάσεων Kummer και διατύπωση του πρώτου βασικού σχετικού Θεωρήματος.

      ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Φοιτητών, Δεύτερη σειρά

       Νίκος Βαρδουλάκης,  Θεωρία Galois πολυωνύμων 3ου και 4ου βαθμού.

       Δημήτρης Καλοψικάκης, Κατασκευασιμότητα πραγματικών αριθμών και κανονικών                                                           πολυγώνων με κανόνα και  διαβήτη.

      Κώστας Νικηφόρος, Ομάδες και εξισώσεις. (Η επιλυσιμότητα εξισώσεων με ριζικά).

        Μάνθος Βουτουφιανάκης, - Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

                                                      - Θεώρημα ύπαρξης αλγεβρικής θήκης και

                                                        - Θεώρημα ύπαρξης κανονικής βάσης.

       Ελπίδα Τσιντάρη, - Η γενική εξίσωση n-στού βαθμού και

                                         - Επίλυση  της γενικής εξίσωσης τρίτου και τετάρτου βαθμού.

       Ιωσήφ Τσάνγκο,   (GUEST STAR!!!!),

                                           - Θεώρημα του Wedderburn,

                                            - Υλοποίηση πεπερασμένων αβελιανών ομάδων, ως ομάδων Galois

                                              υπέρ το Q.

                                             - Solution of polynomials by real radicals

                                                                    (I. M. Isaacs, Amer Math.  Monthly 92 (1985), 571-575.)

       Κώστας Τσέλιος, Irreducible Quartic Polynomials with factorization modulo p,

                                                    (Amer. Math. Monthly 112 (2005), 876-890.)

                                                              

       

      • 18 December - 24 December

         Τρίτη, 12η Δεκεμβρίου 2017

        - Πότε μία κυκλοτομική επέκταση είναι κυκλική.

        - Μία πρακτική μέθοδος υπολογισμού ομάδων Galois

        - To X^{4}+1  είναι ανάγωγο στον Q[X], αλλά όχι ανάγωγο σε κανένα από τα σώματα F_{p}

         για κάθε πρώτο p.

        - Επεκτάσεις Galois  άπειρου βαθμού. ( Μικρή εισαγωγή).

         Πέμπτη 14η Δεκεμβρίου 2017

         Υπερβατικές επεκτάσεις

      • 25 December - 31 December

        • 1 January - 7 January

          • 8 January - 14 January

            • 15 January - 21 January

               Διαλέξεις:

               !8 Ιανουαρίου                                      19 Ιανουαρίου

              8-10:30  Ελπίδα                                   Νίκος

              10:30-11:00 Καφέ                              

              11-13:30 Δημήτρης                           Ματθαίος

              13:30-15 Γεύμα

              15-17:30 Κώστας Ν.                              Κώστας Τσ.

              18-19 Ιωσήφ Ι                                            Ιωσήφ ΙΙ

              • 22 January - 28 January

                • 29 January - 4 February

                  • 5 February - 11 February