Ανάλυση ΙΙ

Μιλήσαμε σήμερα για σύγκλιση σε μετρικούς χώρους (σελ. 7 σημειώσεων Μήτση) και είδαμε και πάρα πολλά παραδείγματα. Είδαμε π.χ. ότι στο χώρο \(\RR^2\) με οποιαδήποτε από τις τρεις μετρικές που έχουμε δει (\(d_2, d_1, d_\infty\) το να συγκλίνει μια ακολουθία σημείων $x^n = (x_1^n, x_2^n)$ σε ένα σημείο $x = (x_1, x_2)$ είναι ισοδύναμο με σύγκλιση των αντιστοίχων συντεταγμένων, δηλ. $x_1^n \to x_1$ και $x_2^n \to x_2$. Είδαμε επίσης ότι σύγκλιση μιας ακολουθίας σε διακριτό μετρικό χώρο σημαίνει ότι η ακολουθία είναι τελικά σταθερή. Τέλος είδαμε παραδείγματα σύγκλισης στο χώρο \(C([a, b])\) (συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα \([a, b]\)) και με την ομοιόμορφη μετρική $\rho(f, g) = \sup_{x \in [a,b]} \Abs{f(x)-g(x)}$ και με τη μετρική $d_1(f, g) = \int_a^b \Abs{f-g}$ και είδαμε ότι μπορεί να έχουμε σύγκλιση ως προς την \(d_1\) χωρίς να έχουμε σύγκλιση ως προς τη \(d_2\). Κατασκευάσαμε ένα παράδειγμα ακολουθίας \(f_n \in C([0, 1])\) που συγκλίνει στη μηδενική συνάρτηση κατά τη μετρική \(d_1\) αλλά για κάθε σημείο \(x \in [0, 1]\) όχι μόνο δεν έχουμε κατά σημείο σύγκλιση στο 0 αλλά ισχύει ότι \(\limsup_n f_n(x) = +\infty\).

Έπειτα μιλήσαμε για το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass (σελ. 127 των σημειώσεων Μήτση) και είδαμε ότι δεν ισχύει το θεώρημα σε μη φραγμένο διάστημα. Αποδείξαμε επίσης ότι αν \(f : [a, b] \to \RR\) έχει συνεχή παράγωγο στο \([a,b]\) τότε υπάρχει ακολουθία πολυωνύμων \(p_n\) τέτοια ώστε να έχουμε \(p_n \to f\) και επίσης \(p_n' \to f'\) (και οι δύο συγκλίσεις ομοιόμορφες).