Ανάλυση ΙΙ

Είδαμε σήμερα διάφορα παραδείγματα και προτάσεις για την ομοιόμορφη συνέχεια. Έχουμε καλύψει πλήρως το Κεφ 5 των σημειώσεων Μήτση (κάναμε και κάποιες από τις ασκήσεις).

Μια πρόταση σας την είπα λάθος.

Σας είπα ότι αν η παράγωγος μιας συνάρτησης \(f:\RR\to\RR\) δεν είναι φραγμένη τότε η \(f\) δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο \(\RR\).

Αυτό δεν είναι σωστό. Μπορεί κάποιος να μου βρει αντιπαράδειγμα (να το γράψετε στο forum);

Μια διορθωμένη πρόταση είναι η εξής.

Θεώρημα: Αν η \(f:[a, +\infty) \to \RR\) έχει παράγωγο και ισχύει \(\lim_{x \to +\infty} \Abs{f'(x)} = +\infty\) τότε η \(f\) δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο \([a, +\infty)\).

Απόδειξη: Υποθέστε ότι η \(f\) είναι ομοιόμορφα συνεχής, ενάντια σε αυτό που θέλουμε να δείξουμε. Πάρτε \(\epsilon=1\). Τότε, από τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας, υπάρχει \(\delta>0\) τ.ώ. \[ \Abs{x-y} < \delta \implies \Abs{f(x)-f(y)}<1.\] Πάρτε \(y = x+\delta/2\) και αφήστε \(x \to \infty\). Πρέπει τότε να ισχύει
\[ \Abs{f(x)-f(y)} < 1.\]
Αλλά από το θεώρημα μέσης τιμής έχουμε \(f(x)-f(y) = f'(\xi)(x-y) = f'(\xi) \delta/2\) για κάποιο \(\xi \in [x, x+\delta/2]\). Όμως αν \(x \to +\infty\) τότε και \(\xi \to +\infty\) οπότε \(\Abs{f'(\xi)} \to \infty\) και άρα \(\Abs{f(x)-f(x+\delta/2)} \to \infty\) και δε μπορεί να είναι \(< 1\), άτοπο. \(\blacksquare\).